圆锥曲线范围中不等关系的构建策略

圆锥曲线范围中不等关系的构建策略 以解析几何为载体的求参数范围问题是高考中常见的题型，这类问题涉及知识范围广、条件隐含深、运算难度大、能力要求高。不少同学对这类问题处理普遍感到困难，只好望题兴叹，究其原因是学生无法合理构建不等式，为此，本文介绍不等关系构建的几种方法与技巧，供同学们学习参考。 一 常用曲线性质 例1 已知椭圆，过点D（0，2）的直线与椭圆相交于P、Q两点，且满足，求的取值范围。 解：设P（），Q（ ），由，得Q（），将P、Q两点坐标分别代入椭圆方程，得消去，并整理，得，由，可得， 解得 评析：在求共线系数的取值范围时，可以用共线系数表示已知椭圆上一点的坐标，利用椭圆性质求解，如椭圆(a＞0，b＞0)的范围是：，，在本题中利用求出的取值范围。当解析几何范围问题涉及的变量较多时，一般而言，可事先理清各变量的制约关系，最后确定主变量与待求参数关系式，利用曲线性质挖掘主变量的取值范围。 二 善用判别式法 例2 已知椭圆的中心在原点，一个焦点是，且两条准线间的距离为。 （1）求椭圆的方程； （2）若存在过点A（1，0）的直线，使点F关于直线的对称点在椭圆上， 求的取值范围。 （2008年湖南省文科高考试题） 解 ： （Ⅰ）设椭圆的方程为(a＞b＞0). 由条件知c=2,且=λ,所以a2=λ, b2=a2-c2=λ-4.故椭圆的方程是 (Ⅱ)依题意，直线l的斜率存在且不为0,记为k,则直线l的方程是y=k(x-1).设点F(2,0)关于直线l的对称点为F′ (x0,y0),则 解得 因为点F′(x0,y0)在椭圆上，所以即 λ(λ-4)k4+2λ(λ-6)k2+(λ-4)2=0. 设k2=t,则λ(λ-4)t2+2λ(λ-6)t+(λ-4)2=0. 因为λ＞4,所以＞0.于是，当且仅当，上述方程存在正实根，即直线l存在，解得，所以，即λ的取值范围是 评析：上述解法紧扣解题目标，把问题转换为利用一元二次方程的判别式来解决，判别式往往是产生不等式的根源，一般来说，韦达定理总是充当求解这种问题的桥梁，本题借助韦达定理得到相应的关系式，再应用隐含条件得到不等关系，从而使问题获解。 三 巧用平面区域 例3 A（，） C（，）为椭圆上两动点，且，若AC的垂直平分线方程为y=kx+m，求m的取值范围。 解：设AC的中点坐标为P（4，），由A、C在椭圆上，得 两式相减得， ∴ ① 又P（4，）在y=kx+m，∴ ② 由①、②解得 ③ 又P（4，）在椭圆内部，∴ ④ 由③、④解得 评析：本题通过点差法的运用可简化运算，利用点与圆锥曲线的位置关系，即借助平面区域范围构建不等式，大大降低运算难度，省时又省力。 四 借用平几知识 例4已知F1、F2是椭圆的两个焦点．满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）（2008年江西省理科高考试题） A．(0，1) B．(0，] C．(0，) D．[，1) 解：依题意可得点M的轨迹是以为直径的圆，又因为点M总在椭圆内部，所以此圆包含在椭圆内，故，即，， 故，选C 评析：求解圆锥曲线范围问题时，根据平面几何中的不等关系可以确定解析几何中变量的取值范围，譬如利用“三角形两边之和大于第三边”、“斜边大于直角边”等构造不等式。 五 妙用数形结合 例5 如图，椭圆左、右两个顶点分别为、，若椭圆上存在一点P，使∠=，求椭圆离心率的取值范围。 解：椭圆上点P由（或）向（或）运动时 逐渐变大，当P与（或）重合时达到最大，故 ，则，即， 求得 评析：本题的常规解法是先寻求问题中涉及到的基本量，将其化归为曲线方程的范围问题，再利用范围解题，那么费时费力，而通过数形结合巧妙地构建不等式，问题便可迎刃而解。运用这一数学思想，要熟练地掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征。 六 引用平面向量 例6　如图、椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点. 　　　　　　　　　　　　　　 （Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与 ... ...