第十六章 二次根式 16．1 二次根式 第1课时 二次根式的概念 教学目标 【知识与技能】 了解二次根式的概念，理解是一个非负数． 【过程与方法】 通过新旧知识的联系，培养学生观察、演绎能力，发展学生的归纳概括能力． 【情感态度】 通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法，进而体验成功的喜悦，并通过合作学习增进终身学习的信念． 【教学重点】 二次根式的概念及≥0的基本性质 【教学难点】 经历知识产生的过程，探索新知识． 教学过程 一、情境导入，初步认识 问题(1)一个长方形的围栏，长是宽的3倍，面积为39 m2，则它的宽为_____ m； (2)面积为S的正方形的边长为_____； (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位： s)与开始落下的高度h(单位： m)满足关系h＝5t2，如果用含h的式子表示t，则t＝_____． 【教学说明】 设置上述问题的目的是让学生感受到研究二次根式是实际的需要，二次根式与实际生活联系紧密．教师提出问题后，让学生独立思考，然后相互交流，获得对二次根式的感性认识． 二、思考探究，获取新知 思考通过对上述问题的探究，可得到形如，，的式子，这些式子有什么特点？ 【教学说明】 教师提出问题，同学生一道分析，体会这些式子的特征，从而引出二次根式的定义． 二次根式：一般地，我们把形如(a≥0)形式的式子称为二次根式，其中“”称为二次根号． 针对上述定义，教师可强调以下几点： (1)中，a必须是大于等于0的数或式子，否则它就没有意义了； (2)尽管＝2是一个整数，但仍应称为一个二次根式； (3)当a≥0时，表示a的算术平方根，而一个非负数的算术平方根必然也是非负数，因而总有≥0(a≥0)． 三、典例精析，掌握新知 【例1】下列各式中，一定是二次根式的有_____． ①；②－2；③；④. 分析：判断二次根式应关注两点： (1)有二次根号“”； (2)被开方数必须是非负数．因而在所给出四个式子中，只有②③中的式子同时符合两个要求，故应填②③. 【例2】当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义． (1)；(2)＋；(3). 解：(1)中，由x－2≥0，得x≥2； (2)中，由得2≤x≤3； (3)中，由2x－1＞0，得x＞. 【例3】(1)已知＋＝0，求x，y的值； (2)若y＝＋＋3，求xy的值． 解：(1)由≥0，≥0，又因为它们的和为0，故当且仅当＝0和＝0才行，从而x＝－1，y＝3； (2)中，由二次根式定义可知，， ∴x＝，∴y＝0＋0＋3＝3，故xy＝()3＝. 【教学说明】 对于例3，教师应引导学生分析题目特征，抓住解决问题的突破口，选择恰当的方法来获得解题思路，进一步体验中a≥0及a≥0的双重非负性特征. 四、运用新知，深化理解 1．填空题： (1)形如_____的式子叫二次根式； (2)负数_____(填“有”或者“没有”)算术平方根． 2．当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义： (1)；(2)；(3)； 3．已知＋(b－3)2＝0，试求a、b的值； 4．已知实数x、y满足等式y＝＋－5，求x2－2xy＋y2的值． 5．已知实数a满足＋＝a，求a－20122的值． 6．已知＋＝0，求－a2b的值． 【教学说明】 学生自主探究，教师巡视，了解学生对本节课知识的掌握情况，及时予以指导，帮助学生巩固新知． 解：1.(1)(a≥0) (2)没有 2．(1)a≥1 (2)a≥－ (3)a为一切实数 3．由题意得，∴ 4．由题意得，∴x＝3，y＝－5，∴x2－2xy＋y2＝(x－y)2＝(3＋5)2＝64. 5．由题意知：a－2013≥0，∴a≥2013，∴2012－a＜0，原式可化为a－2012＋＝a，∴＝2012，∴a－2013＝20122，∴a－20122＝2013. 6．当≥0，≥0，又∵它们的和为0，∴a－2＝0且b＋＝0，解得a＝2，b＝－， ∴－a2b＝－22×(－)＝2. 五、师生互动，课堂小结 通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，你获得哪些解决二次根式问题的方法？你还有哪些问题 ... ...
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