新人教A版高中数学必修第二册：等差数列前n项和

授课主题 等差数列前n项和 教学目标 1.理解数列前n项和的公式，探索并掌握等差数列的前n项和的公式.2.能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并能用有关知识解决与等差数列的前n项和相关的问题. 教学内容 1．数列的前n项和1)对于任意数列{an}，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，叫做数列{an}的前n项的和．2)Sn－Sn－1＝an(n≥2)，a1＝S1(n＝1).2．等差数列的前n项和1)等差数列{an}的前n项和公式为Sn＝或Sn＝na1＋．2)等差数列依次k项之和仍然是等差数列．即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成公差为k2d的等差数列．如：已知等差数列{an}，an＝n，则S3，S6－S3，S9－S6分别为：6,15,24. 它们成等差数列．3．已知Sn求an由Sn的定义可知，当n＝1时，S1＝a1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，即an＝.如：已知等差数列{an}的前n项和为Sn＝n2，则an＝＝2n－1，n∈N .4．等差数列的前n项和与二次函数等差数列的前n项和公式：Sn＝na1＋可化成关于n的二次式子为Sn＝n2＋n，当d≠0时，是一个常数项为零的二次式．5．等差数列前n项和的部分性质1) 若Sn为等差数列{an}的前n项和，则也是等差数列． 如：已知等差数列{an}的通项公式为：an＝2n－1，则＝n，是等差数列．2) 在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0.则Sn存在最大值；a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值． 如：已知等差数列{an}的通项公式为：an＝－2n＋8，则等差数列的前n项和Sn＝n(7－n)，Sn的最大值为12．3) 项数为2n的等差数列{an}，公差为d，有S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd.如：已知等差数列{an}共有100项，其通项公式为：an＝－3n＋2，等差数列的前n项和为Sn，则S偶－S奇＝－150.4) 项数为2n－1的等差数列{an}，有S2n－1＝(2n－1)an(an为中间项)，S奇－S偶＝an.如：已知等差数列{an}共有201项，其通项公式为：an＝3n－2，等差数列的前n项和为Sn，则S奇－S偶＝a101＝301.6．裂项相消法求和裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．常见的裂项公式：(1)＝－；(2)＝；(3)＝－.题型一　等差数列的前n项和公式的应用例1　已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由此可以求其前n项和的公式吗？解析：由题设：S10＝310，S20＝1 220，得：?∴Sn＝4n＋×6＝3n2＋n.点评：对于等差数列{an}的5个“基本量”a1，d，n，an，Sn，若已知其中的三个，由等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d及前n项和公式Sn＝＝na1＋d便可求出另外两个，即“知三求二”．“知三求二”实质上是方程思想的具体体现．巩 固　记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d为(　　)A．7　　　　B．6　　　　C．3　　　　D．2解析：由S2＝4，S4＝20，得2a1＋d＝4,4a1＋6d＝20，解得d＝3.答案：C题型二　等差数列的前n项和的问题例2　已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n，求证：数列{an}成等差数列，并求其首项、公差、通项公式．解析：a1＝S1＝3－2＝1，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5，n＝1时，亦满足．∴an＝6n－5(n∈N )．∴an＋1－an＝6(n∈N )．∴数列{an}成等差数列，且首项为1，公差为6.点评：利用数列前n项和Sn，求通项公式第一步：当n＞1时，an＝Sn－Sn－1；第二步：检验n＝1时，a1＝S1是否适合上式，若适合，则数列{an}的通项公式是an＝Sn－Sn－1；若不合适，则数列{an}的通项公式是an＝巩 固　已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求数列{|an|}的前n项和Tn.解析：a1＝S1＝－×12＋×1＝101，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－3n＋104.∵n＝1也适合上式，∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104(n∈N )．由an＝－3n＋104≥0，得n≤34.7.即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0.(1)当n≤34时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2 ... ...