授课主题 综合法与分析法 教学目标 1．了解直接证明的两种基本方法———综合法和分析法．2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题． 教学内容 分析法和综合法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．分析法是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件，或已被证明的事实．题型一 综合法的应用例1 已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：＋≥4.证明：证法一 ∵a，b∈R＋且a＋b＝1，∴a＋b≥2.∴≤.∴＋＝＝≥4.证法二 ∵a，b∈R＋，∴a＋b≥2>0.＋≥2>0.∴(a＋b)≥4.又a＋b＝1，∴＋≥4.证法三 ∵a，b∈R＋，∴＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时，取“＝”号．点评：综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．综合法是中学数学证明中最常用的方法．综合法是从已知到未知、从题设条件到结论的逻辑推理方法．综合法是一种由因导果的证明方法．用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法用框图表示为：→→→…→巩 固 证明：＋＋＜2.证明：因为logab＝，所以左式＝log195＋2log193＋3log192＝log19(5×32×23)＝log19360. 因为log19360＜log19361＝2，所以 ＋＋＜2.题型二 分析法的应用例2 求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大．证明：设圆和正方形的周长为L，依题意，圆的面积为π2，正方形的面积为 2，因此本题只需证明π2＞2, 要证明上式成立，只需证明＞成立，即证明＞，两边同乘以，得＞，因为上式成立，所以π2＞2.所以，如果一个圆与一个正方形的周长相等，那么这个圆的面积比这个正方形的面积大．点评：分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明的方法叫做分析法．分析法是从未知到已知、从结论到条件的逻辑推理方法．分析法是一种执果索因的证明方法．用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则分析法用框图表示为：→→→…→得到一个明显成立的结论巩 固 当a≥2时，求证：－＜－.分析：条件和结论的联系不明确，考虑用分析法证明．证明：要证 －＜ － ，只需证 ＋＜＋ ，只需证( ＋)2<( ＋)2，只需证a＋1＋a－2＋2＜a＋a－1＋2，只需证 < ，只需证(a＋1)(a－2)＜a(a－1)，只需证a2－a－2＜a2－a，只需证－2＜0，显然成立，所以－＜ － .题型三 综合法与分析法的综合应用例3 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，求证：f为偶函数．证明：证法一 要证f为偶函数，只需证f的对称轴为x＝0，只需证－－＝0，只需证a＝－b.因为函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，即x＝－－1与x＝－关于y轴对称，所以－－1＝－.所以a＝－b.所以f为偶函数．证法二 要证f是偶函数，只需证f＝f.因为f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，而f(x)与f(－x)的图象关于y轴对称，所以f(－x)＝f(x＋1)，f＝f＝f＝f，所以f是偶函数．点评：综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手易于寻找解题思路．在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证．巩 固 若tan(α＋β)＝2tan α，求证：3sin β＝sin(2α＋β)．证明：由tan(α＋β)＝2tan α，得 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
