2020-2021学年高中数学人教A版必修5第二章2.5 等比数列的前n项和3课时课件（共84张PPT）

等比数列的前n项和 2.5 等比数列的前n项和 分组求和及求和应用 复习与提高 课本中介绍了一个关于数列问题的传说 《国际象棋格上的麦粒》 国王为了奖励国际象棋的发明者， 问发明 者需要什么，发明者说: “请按如下的方法赏给 我麦粒： 在棋盘的第一格放 1 粒，第二格放 2 粒，第三格放 4 粒, 第四格放 8 粒，…… 如此 类推，每一格的麦粒数是前一格的 2 倍，直到把棋盘的64个格子全部放完。” 国王欣然答应， 结果…… （如下图） 国际象棋棋盘 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768 65536 131072 64格麦粒的和为 =18446744073709551615 以每千粒40克算,共有 7378亿 吨重,目前世界年产小麦6亿吨, 国王给得起吗? 上面的全部麦粒数是一个等比数列的和. 如果知道等比数列的首项和公比, 怎样求前 n 项和呢? 请同学们看下面的问题. 问题 1. 等比数列的任一项乘以公比 q 后是一个什么数? 等比数列的前 n 项和 Sn 的各项乘以公比 q 后发生了什么样的变化? 与 Sn 进行怎样的计算会消掉许多项? 请同学们试试. Sn=a1+a2+a3+a4+…+an-1+an, qSn=qa1+qa2+qa3+qa4+…+qan-1+qan, qSn=a2+a3+a4+a5+…+an+an+1, ① ② ①-②得 (1-q)Sn = a1-an+1 = a1-a1qn = a1(1-qn), 当 q≠1 时, 两边同除以 1-q 得 等比数列的前 n 项和公式: 当 n 较大时, qn 是一个高次式. 能否用首项, 末项以及 q 的一次式表示? 请同学们试试. 如: 棋盘上的麦粒数之和为 =18446744073709551615. 错位相减法 =18446744073709551615 例 1. 求下列等比数列前 8 项的和: (1) (2) 解: (1) 由题设得 (2) ∵a9 = a1q8, 得 解得 练习: (课本58页) 1. 根据下列各题中的条件, 求相应的等比数列{an}的前 n 项和 Sn. (1) a1=3, q=2, n=6; (2) 解: (1) ∵ a1=3, q=2, n=6, ∴Sn = S6 = 189. (2) 由 得 2. 如果一个等比数列前 5 项和等于 10, 前 10 项和等于 50, 那么它前 15 项和等于多少? 解: 两式相除得 1+q5=5, ? q5=4. 代入第一式得 = 210. 2. 如果一个等比数列前 5 项和等于 10, 前 10 项和等于 50, 那么它前 15 项和等于多少? 解: = 10+10q5 解得 q5=4. = 210. 法二, S10 = (a1+a2+…+a5)+(a6+a7+…+a10) = (a1+a2+…+a5)+q5(a1+a2+…+a5) = 50, S15 = (a1+a2+…+a5)+(a6+a7+…+a10)+(a11+a12+…+a15) = (a1+a2+…+a5)+q5(a1+a2+…+a5) )+q10(a1+a2+…+a5) = 10+4?10+42?10 【课时小结】 1. 等比数列前 n 项和公式 q=1 时, Sn=a1+a1+…+a1=na1. 【课时小结】 2. 等比数列前 n 项和公式的导出 Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an, qSn=qa1+qa2+qa3+…+qan-1+qan =a2+a3+a4+…+an+an+1, 得 (1-q)Sn = a1-an+1 = a1(1-qn), 习题 2.5 A 组 第 1、2、3 题. B 组 第 1、2 题. 习题 2.5 A 组 1. 在等比数列{an}中: (1) 已知 a1= -1, a4=64, 求 q 与 S4; (2) 已知 a3 = S3 = 求 a1 与 q. 解: (1) 由等比数列通项公式得 a4=a1p3 ? -q3= 64, ? q = - 4. = 51. 习题 2.5 A 组 1. 在等比数列{an}中: (1) 已知 a1= -1, a4=64, 求 q 与 S4; (2) 已知 a3 = S3 = 求 a1 与 q. 解: (2) 由 由 ① ② 将①代入②得 2q2-q-1=0, 或 q=1, 当 时, a1=6; 当 q=1 时, a1= 2. 某企业去年的产值是 138万元, 计划在今后 5 年内每年比上一年产值增长 10%, 这 5 年的总产值是多少? 解: 各年的增长率相同, 则各年产值成等比数列, 其中 a1=138(1+10%) 则 5 年的总产值为: ≈927(万元), 答: 这 5 年的总产值约为 927万元. q=1+10%=1.1, n=5. =151.8, 3. 如图, 画一个边长为 2 cm 的正方形, 再将这个正方形各边的中点相连得到第 2 个正方形, 依此类推, 这样一共画了 10 个正方形, 求: (1) 第 10 个正方形的面积; (2) 这 10 个正方形的面积的和. 解: 如图可得第二个正方形面积 是第一个正方形面积的 以后的每一个正方 ... ...