编号：005 课题:§9.3.1 平面向量基本定理 目标要求 1、理解并掌握平面向量基本定理和正交分解的概念． 2、平面向量基本定理的理解． 3、会用基底表示向量． 4、平面向量基本定理的综合应用. 学科素养目标 向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用． 重点难点 重点：用基底表示向量； 难点：平面向量基本定理的综合应用． 教学过程 基础知识点 1.平面向量基本定理 (1)定理: 条件 是同一平面内两个_____的向量, 是这一平面内的_____向量 结论 有且只有一对实数,使 有关 概念 若_____,我们把叫作表示这一平面内所有向量的一组_____ (2)本质:向量的分解,即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式,且分解是唯一的. (3)应用:①用基底表示同一平面内的任一向量;②根据“唯一性”列方程(组)求未知数;③为引入向量的坐标表示奠定基础. 2.正交分解 对于分解,当所在直线互相垂直时,这种分解也称为向量的正交分解. 【思考】 如果是共线向量,那么向量能否用表示?为什么? (2)平面向量的基底是唯一的吗? 【课前基础演练】 题1.（多选）下列命题正确的是 ( ) A. 基底中的向量可以为零向量. B. 若是同一平面内两个不共线向量,则(为实数)可以表示该平面内所有向量. C. 在梯形ABCD中,AD∥BC,则向量与可以构成一组基底. D. 一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底. 题2.如图, 不共线,且，则_____(用表示). 题3.已知向量不共线,实数x,y满足,则x=_____, y=_____. 关键能力·合作学习 类型一 平面向量基本定理的理解(数学运算、逻辑推理) 【题组训练】 题4.设是平面内的一组基底,则下面的四组向量不能作为基底的是 ( ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 题5.如果是某平面内一组基底,那么下列说法中不正确的是 ( ) ①对于此平面内任一向量,使的实数对(λ,μ)有无穷多个; ②若实数λ,μ使得,则λ=μ=0; ③若向量与共线,则有且只有一个实数λ,使得; ④若,且,则. A.①② B.①③ C.③④ D.② 题6.如图所示,平面内的两条直线和将平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不 包括边界),若，且点P落在第Ⅰ部分,则实数a,b满足 ( ) A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0 【解题策略】 1.对基底的理解 两个向量能否作为一组基底,关键是看这两个向量是否共线.若共线,则不能作基底,反之,则可作基底. 2.对平面向量基本定理的理解 (1)在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和,且这样的分解是唯一的,同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的,而零向量的分解式是唯一的,即,且. (2)对于固定基底而言,平面内任一确定的向量的分解是唯一的. 【补偿训练】 题7.给出下列三种说法: ①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底; ②一个平面内有无数组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底; ③零向量不可作为基底中的向量. 其中,说法正确的为 ( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 类型二 用基底表示向量(数学运算) 角度1 线性运算法 【典例】题8.如图,在△ABC中, ，若， 则 ( ) A.-3 B.3 C.2 D.-2 【变式探究】 题9. 如图,在△ABC中, ，若,求的值. 角度2 待定系数法 【典例】题10.已知是平面内两个不共线的向量, ,试用向量和表示. 【解题策略】 用基底表示向量的两种方法 (1)线性运算法 运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止.解题时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形,找到已知向量和未知向量的关系. (2) 待定系数法 首先根据平面向量基本定理设所求向量为两个不共线向量的线性运算形式,然后通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求待定系数. 【题组训 ... ...
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