人教A版 选修2—2 精讲细练 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 一、知识精讲 1.复数 ①定义：形如a＋bi的数叫做复数，其中a、b是实数，i叫做虚数单位，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部． 【注】规定i·i=-1. ②表示方法：复数通常用z表示，即z＝a＋bi(a、b∈R)． 【注】复数m+ni的实部、虚部一定是m,n吗? 不一定.只有当m∈R,n∈R时,m,n才分别是该复数的实部、虚部. 2.复数集 ①定义：由全体复数所构成的集合叫做复数集． ②表示：通常用大写字母C表示． 3.复数相等的充要条件 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规定: a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d. 【注1】两复数相等即他们的实部和虚部分别相等. 【注2】对于复数z＝a＋bi(a、b∈R)，当b＝0时能比较大小，当b≠0时，不能比较大小．即两个不全是实数的复数不能比较大小． 4.复数的分类 (1)对于复数a+bi,当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时,它是实数 0;当b≠0时,叫做虚数;当a=0且b≠0时,叫做纯虚数 (2)集合表示: . 【注】通过关系图可以看出，复数不是虚数，复数包括实数和虚数. 二、典例细练 【题型一】：复数的概念与性质 例题1： 判断下列说法是否正确. (1)当z∈C时,z≥0. (2)若a∈R,则(a+1)i是纯虚数. (3)若a>b,则a+i>b+i. (4)若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1. 【解析】:(1)错误.当且仅当z∈R时,z≥0成立.若z=i,则z=-1<0. (2)错误.当a=-1时,(a+1)i=(-1+1)i=0·i=0∈R. (3)错误.两个虚数不能比较大小. (4)错误.当且仅当x,y∈R时,x,y才是x+yi的实部和虚部.此时,x+yi=1+i 的充要条件才是x=y=1. 【点评】数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立，因此不能用将实数的性质平行的应用到复数中去. 变式训练1：下列命题中： ①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若a，b∈R且a>b，则a＋i3>b＋i2； ③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；④两个虚数不能比较大小． 其中，正确命题的序号是( ) A．① B．② C．③ D．④ 【答案】 D 【解析】 对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0，且b≠0时为纯虚数．在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；在③中，若x＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a＋i3＝a－i，b＋i2＝b－1，复数a－i与实数b－1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D. 变式训练2： (2010·四川理1)i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝( ) A．－1 B．1 C．－i D．i 【答案】 A 【解析】 i＋i2＋i3＝i－1－i＝－1. 变式训练3：(福建卷理科1)是虚数单位，若集合={－1,0,1}，则 A.∈ B. ∈ C. ∈ D. ∈ 【解析】∵=－1∈，故选B. 【答案】B 【题型二】：复数相等的充要条件 例题2：已知x，y均是实数，且满足(2x－1)＋i＝－y－(3－y)i，求x与y. 【解析】 由复数相等的充要条件得 解得∴x＝－，y＝4. 【点评】两复数相等即他们的实部和虚部分别相等. 变式训练1：(江苏卷3)设复数i满足（i是虚数单位），则的实部是_____ 【答案】1 【解析】因为，所以,故的实部是1. 变式训练2：若x∈R，试确定a是什么实数时， 等式3x2－x－1＝(10－x－2x2)i成立． 【解析【 由复数相等的充要条件，得 由②得x＝2或x＝－， 代入①，得a＝11或a＝－. 【题型三】：复数的分类 例题3：当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 【解析】 (1)当，即m＝2时，复数z是实数； (2)当m2－2m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数； (3)当，即m＝－3时，复数z是纯虚数． 【点评】考察复数分类的问题时，一定要紧抓复数的代数形式，主要依据是实部、虚部应满足的条件。求参数时，可据此列出方程组求解。 变式训练：已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)．实数a取什么值时，z是(1)实数？(2)虚 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
