[巩固层·知识整合] [提升层·题型探究] 用样本的频率分布估计总体分布 【例1】 某地教育部门为了调查学生在数学考试中的有关信息，从上次考试的10 000名考生中用分层抽样的方法抽取500人，并根据这500人的数学成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则这10 000名考生的数学成绩在[140,150]内的约有_____人． 思路点拨：根据频率分布直方图求出样本中数学成绩在[140,150]内的频率，可估计总体中成绩在[140,150]内的人数． 800 [由样本的频率分布直方图知数学成绩在[140,150]内的频率是相应小矩形的面积，即0.008×10＝0.08，因此这10 000名考生中数学成绩在[140,150]内的约有10 000×0.08＝800(人)．] 用样本的频率分布估计总体分布 通常要对样本数据进行列表、作图处理.这类问题采取的图表主要有：条形图、直方图、茎叶图、频率分布折线图、扇形图等.它们的主要优点是直观，能够清楚表示总体的分布走势.除茎叶图外，其他几种图表法的缺点是原始数据信息有丢失. 1．已知总体数据均在[10,70]内，从中抽取一个容量为20的样本，分组后对应组的频数如下表所示： 分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70] 频数 2 3 4 5 4 2 则总体数据在区间[10,50)内的频率约为( ) A．0.5 B．0.25 C．0.6 D．0.7 D [由频率分布表可知样本数据在区间[10,50)内的频数等于[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)四个分组的频数之和，即2＋3＋4＋5＝14，频率为＝0.7. 由样本的频率分布估计总体分布的思想可知，总体数据在区间[10,50)内的频率约为0.7.] 用样本的数字特征估计总体的数字特征 【例2】 在射击比赛中，甲、乙两名运动员分在同一小组，给出了他们命中的环数如下表： 甲 9 6 7 6 2 7 7 9 8 9 乙 2 4 6 8 7 8 9 7 9 10 赛后甲、乙两名运动员都说自己是胜者，如果你是裁判，你将给出怎样的评判？ 思路点拨：规则不同，评判结果有所不同． [解] 为了分析的方便，先计算两人的统计指标如下表所示． 平均环数 方差 中位数 命中10环次数 甲 7 4 7 0 乙 7 5.4 7.5 1 规则1：平均环数和方差相结合，平均环数高者胜．若平均环数相等，则再看方差，方差小者胜，则甲胜． 规则2：平均环数与中位数相结合，平均环数高者胜．若平均环数相等，则再看中位数，中位数大者胜，则乙胜． 规则3：平均环数与命中10环次数相结合，平均环数高者胜．若平均环数相等，则再看命中10环次数，命中10环次数多者胜，则乙胜． 以上规则都是以平均环数为第一标准，如果比赛规则是看命中7环以上或10环的次数，那么就不需要先看平均环数了． 样本的数字特征可分为两大类，一类反映样本数据的集中趋势，包括样本平均数、众数、中位数；另一类反映样本数据的波动大小，包括样本方差及标准差.通常，我们用样本的数字特征估计总体的数字特征.有关样本平均数及方差的计算和应用是高考考查的热点. 2．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图，已知甲的成绩的极差为31，乙的成绩的平均值为24，则下列结论错误的是( ) A．x＝9 B．y＝8 C．乙的成绩的中位数为26 D．乙的成绩的方差小于甲的成绩的方差 B [甲的成绩极差为31，所以最高成绩为39.x＝9；由乙平均值是24，得y＝24×5－(12＋25＋26＋31)－20＝6；由茎叶图知乙成绩的中位数为26，对比甲、乙成绩分布发现，乙成绩较集中，其方差较小. ] 用线性回归方程对总体进行估计 【例3】 理论预测某城市2020到2024年人口总数与年份的关系如下表所示： 年份202x(年) 0 1 2 3 4 人口数y(十万) 5 7 8 11 19 (1)请画出上表数据的散点图； (2)指出x与y是否线性相关； (3)若x与y线性相关，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程＝x＋； (4)据此估计2025年该城市人口总数． (参数数 ... ...
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