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课件网) 3.2 复数代数形式的四则运算 1、虚数单位i的引入； 2、复数有关概念： 复数的代数形式: 复数的实部 ，虚部 . 复数相等 实数： 虚数： 纯虚数： 一、复习回顾 特别地，a+bi=0? . a=b=0 3、复数z=a+bi的几何意义 类比实数的运算法则能否得到复数的运算法则？ (1)直角坐标系中的点Z(a,b) 问题引入： 我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律： 交换律：a+b=b+a ab=ba 结合律：(a+b)+c=a+(b+c) (ab)c=a(bc) 分配律：a(b+c)=ab+ac 那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢?你认为应怎样定义复数的加、减、乘运算呢?运算律仍成立吗? 注意到i2=-1，虚数单位i可以和实数进行运算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我们已经是自然而然地在进行着，只要把这些零散的操作整理成法则即可了！ 二、复数加、减法的运算法则： 已知两复数z1=a+bi, z2=c+di (a,b,c,d是实数) 即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减). (1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i. 二、复数加、减法的运算法则： (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i 注:(1)复数的减法是加法的逆运算； (2)易知复数的加法满足交换律、结合律, 即对任何z1,z2,z3∈C，有z1+z2=z2+z1，(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). (3)复数的加减法可类比多项式的加减法进行. 例1、计算(1－3i )+(2+5i) +(-4+9i) 解:原式=(1+2-4)+(-3+5+9)i =-1+11i 变式：1、计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i). 解： (5-6i)+(-2-i)-(3+4i) =(5-2-3)+(-6-1-4)i=-11i 2、计算：(1)(-3-4i)+(2+i)-(1-5i)=_____ (2)(3-2i)-(2+i)-(_____)=1+6i -2+2i -9i 我们知道,两个向量的和满足平行四边形法则, 复数可以表示平面上的向量，那么复数的加法与向量的加法是否具有一致性呢？ 设z1=a+bi z2=c+di,则z1+z2=(a+c)+(b+d)i x O y Z1(a,b) Z Z2(c,d) 这说明两个向量的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量，这就是复数加法的几何意义. 类似地,复数减法: Z1(a,b) Z2(c,d) O y x Z OZ1-OZ2 这说明两个向量的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量，.这就是复数减法的几何意义. 思考：|z2-z1|表示什么? 表示复平面上与这两个复数对应的两点之间的距离 (2)|z－1| (3)|z+2i| 点A到点(1,0)的距离 点A到点(0, -2)的距离 例2、已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义. (1)|z－(1+2i)| 点A到点(1,2)的距离 练习 1、已知复数z1=-2+i，z2=4-2i，试求z1+z2对应的点关于虚轴对称点的复数。 -2-i 4、如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2，那么|z+i+1|的最小值是_____ 1 2、已知x∈R，y为纯虚数，且(2x-1)+i=y-(3-y)i 则x=_____ y=___ 4i 三、复数的乘法法则： 说明：(1)两个复数的积仍然是一个复数； (2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算过程中把i2换成-1，然后实、虚部分别合并. (3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律即对于任何z1 , z2 ,z3 ∈C,有 实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对z1,z2,z3∈C及m,n∈N 有: zmzn=zm+n, (zm)n=zmn, (z1z2)n=z1nz2n. 例3.计算(－2－i )(3－2i)(－1+3i) 练习：计算 注意 a+bi 与 a-bi 两复数的特点. 思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么 定义:实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数. 复数 z=a+bi 的共轭复数记作 共轭复数的性质: 四、共轭复数 共轭复数的几何意义: 在复平面内,一对共轭复数对应的点关于实轴对称。 z=2+i 3.已知复数x2+x-2+(x2-3x+2)i(x∈R)是4-20i的共轭复数，求x的值． 解：因为4-20i的共轭复数是4+20i，根据复数相等的定义，可得 解得 所以 ． 例4、已知复数 z=1+i ,求实数a,b 使 a=-2,b=-1; a=-4,b=2; 定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi ( ... ...
