专题二 选填题题型归纳之解三角形 题型一、正、余弦定理基础 1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则以下结论错误的为（ ） A．若，则A＝90° B． C．若sinA＞sinB，则A＞B；反之，若A＞B，则sinA＞sinB D．若sin2A＝sin2B，则a＝b 【解答】解：A，∵， ∴由正弦定理sinB＝cosB，sinC＝cosC， 又∵B，C为△ABC的内角， ∴B＝C＝45°， 故A＝90°，A正确； B，∵由正弦定理可得2R， ∴2R，故B正确； C，在△ABC中，设外接圆的半径为R， 若sinA＞sinB， 则2RsinA＞2RsinB， 由正弦定理可得a＞b，即A＞B； 若A＞B，即有a＞b， 即2RsinA＞2RsinB， 即a＞b． 则在△ABC中，sinA＞sinB?A＞B，故C正确； D，∵sin2A＝sin2B ∴sin2A﹣sin2B＝cos（A+B）sin（A﹣B）＝0 ∴cos（A+B）＝0或sin（A﹣B）＝0 ∴A+B或A＝B ∴三角形为直角三角形或等腰三角形． 故D错误． 故选：D． 2．在△ABC中，cosC，AC＝4，BC＝3，则tanB＝（ ） A． B．2 C．4 D．8 【解答】解：∵cosC，AC＝4，BC＝3， ∴tanC， ∴AB3，可得A＝C， ∴B＝π﹣2C， 则tanB＝tan（π﹣2C）＝﹣tan2C4． 故选：C． 3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA， ∴， 解得3c2， ∴6． 故选：A． 4．已知a、b、c分别为△ABC的三内角A、B、C的对边，，则A＝（ ） A． B． C． D． 【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：sinAcosCsinAsinC﹣sinB﹣sinC＝0， ∴sinAcosCsinAsinC﹣sin（A+C）﹣sinC＝0，即sinAcosCsinAsinC﹣sinAcosC﹣cosAsinC﹣sinC＝0， ∴sinAsinC﹣cosAsinC﹣sinC＝0， ∵sinC≠0， ∴sinA＝cosA+1，即， ∴tan， ∴，即A． 故选：B． 5．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2（1﹣sinA），则A＝（ ） A． B． C． D． 【解答】解：∵b＝c， ∴a2＝b2+c2﹣2bccosA＝2b2﹣2b2cosA＝2b2（1﹣cosA）， ∵a2＝2b2（1﹣sinA）， ∴1﹣cosA＝1﹣sinA， 则sinA＝cosA，即tanA＝1， 即A， 故选：C． 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c则，则∠C＝ 450 ． 【解答】解：1， 根据正弦定理得：， ∵1， ∴，即cosA， 又A为三角形的内角， ∴∠A＝60°， ∵a＝2，c＝2，sinA， ∴由正弦定理得：sinC， 又a＞c，∴A＞C， ∴∠C＝45°． 故答案为：45° 题型二、角平分线问题 1．△ABC中，cosA，AB＝4，AC＝2，则∠A的角平分线AD的长为（ ） A． B． C．2 D．1 【解答】解：在△ABC中，因为cosA，AB＝4，AC＝2， 则由余弦定理可得BC2＝AB2+AC2﹣2AB?AC?cosA ＝16+4﹣1618，解得BC＝3， 所以cosB， 根据角平分线的性质可得： ，所以BD，CD， 由余弦定理得，AD2＝AB2+BD2﹣2AB?BD?cosB ＝16+8﹣2×44，则AD＝2， 故选：C． 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A，a＝4，角A的平分线交边BC于点D，其中AD＝3，则S△ABC＝ 12 ． 【解答】解：由A，a＝4， 余弦定理：cosA，即bc＝b2+c2﹣112．…① 角A的平分线交边BC于点D， 由ABD和ADC面积和定理可得AD，AD＝3， 即bc＝3（b+c）…② 由①②解得：bc＝48． 那么S△ABCcbsinA＝12． 故答案为：12 3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a+c的最小值为（ ） A．8 B．9 C．10 D．7 【解答】解：由题意得 acsin120°asin60°csin60°， 即ac＝a+c， 得1， 得4a+c＝（4a+c）（ ）5≥25＝4+5＝9， 当且仅当，即c＝2a时，取等号， 故选：B． 题型三、中位线问题 1．△ABC中，A，B，C的对边分别记a，b，c，若b＝5，c＝6 ... ...
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