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课件网) 第2课时 用数学归纳法证明不等式 1．贝努利不等式：如果x是实数且x＞－1，x≠0，n为大于1的自然数，则_____． 2．设α为有理数，x＞－1，如果0＜α＜1，则(1＋x)α____1＋αx；如果α＜0或α＞1，则(1＋x)α_____1＋αx，当且仅当_____时，等号成立． (1＋x)n＞1＋nx ≤ ≥ x＝0 1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N )第一步应验证( ) A．n＝1 B．n＝2 C．n＝3 D．n＝4 【答案】C 【解析】由题意知n≥3，∴应验证n＝3. 数学归纳法与不等式证明的基本方法 (1)数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行； (2)归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行适当变形，用上归纳假设后，通常进行合理放缩，以达到转化的目的．有时可以“套”用其他证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面． 【例2】 设x是实数且x＞－1，x≠0，n大于1的自然数，则(1＋x)n＞1＋nx. 【解题探究】 用数学归纳法证明，注意适当的放缩． 用数学归纳法证明贝努利不等式 【解析】①当n＝2时，由x≠0，知(1＋x)2＝1＋2x＋x2＞1＋2x，因此n＝2时不等式成立． ②假设n＝k(k≥2，k∈N )时不等式成立，即(1＋x)k＞1＋kx. 当n＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)＞(1＋kx)(1＋x)＝1＋x＋kx＋kx2＞1＋x＋kx＝1＋(k＋1)x， 即当n＝k＋1时结论也成立． 由①，②可知，对一切大于1的正整数n均成立． 用数学归纳法解决数列问题 1．使用数学归纳法证明不等式，难点在于由n＝k时命题成立推出n＝k＋1时命题成立，为完成这步证明，不仅要正确使用归纳假设，还要灵活利用问题中的其他条件和相关知识．其中，比较法、分析法、综合法、放缩法等常被灵活地应用． 2．放缩法是把不等式中的某些部分的值放大或缩小，达到证明的目的．但要注意放大或缩小要适度．(
课件网) 第1课时 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)证明当_____时，命题成立； (2)假设当_____时，命题成立，证明当_____时，命题也成立． 综上(1)，(2)知，对任意的正整数n≥n0，命题都成立． 这种证明方法称为_____． n＝n0 n＝k(k≥n0，k∈N ) n＝k＋1 数学归纳法 3．(2017年合肥期中)一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N )时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，则( ) A．一切正整数命题成立 B．一切正奇数命题成立 C．一切正偶数命题成立 D．以上都不对 【答案】B 【解析】可以推出对n＝1,3,5,7，…，命题都成立，即命题对一切正奇数成立．故选B． 用数学归纳法证明等式 【解题探究】 (1)这是一个与正整数有关的恒等式问题，用数学归纳法证明时，要严格按两步来证明，缺一不可． (2)用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项． (1)在本例证明过程中，步骤①考虑“n取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况是把第一个值代入通项，考察命题的真假；步骤②在由n＝k到n＝k＋1的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法． (2)在步骤②的证明过程中，突出了两个“凑”字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时，命题形式之间的区别和联系． 【例2】 用数学归纳法证明：(3n＋1)·7n－1(n∈N )能被9整除． 【解题探究】 这是一个与整除有关的命题，用数学归纳法证明时，第一步应该证n＝ ... ...
