第二讲(文) 三角函数与平面向量 第一节 三角函数的化简、求值及证明 三角函数的化简、求值及证明涉及恒等变换，而三角函数的恒等变换是历年高考命题的热点. 它既可以出现小题（选择或者填空），也可以与三角函数的性质，解三角形，向量等知识结合，参杂、渗透在解答题中，它们的难度值一般控制在0.5-0.8之间. 提高三角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简及证明的方法和技能. 考试要求 ⑴理解同角三角函数的基本关系式；（2）会推导两角和与差、二倍角的余弦、正弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换；（3）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；(4)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 题型一 已知三角函数的值求角问题 例1 （１）在中，内角的对边分别是，若，，则（ ）． Ａ． B． C． D． （２）若，，求α+2β= . 点拨 本题（１）应先利用正弦定理进行角化边，然后利用余弦定理求角A. 题（２）首先应求α+2β的函数值，为了使角的范围好控制，这里选用正切值好一点，然后根据条件依次找出所需的条件，要注意角的范围. 解三角形的问题关键是灵活运用正弦定理和余弦定理，正确进行边化角、角化边，探寻解答. 题（２）最困难的地方在于确定α+2β的范围，一般地，根据已知条件，把角的范围限制得越精确，结果也越准确. 解（１）由及正弦定理，得，代入，得 ，即，又，（为什么从角化边入手？） 由余弦定理，（选用余弦定理合理否？） 所以．故选Ａ． （２）∵，，∴ ∴，（为什么要把角的范围定得这样精确？） α+2β,又tan2β=, ∴,∴α+2β=. 易错点 题（１）记错公式、忘记讨论角的范围或者代数运算不熟练是造成这类解三角形问题的出错的主要原因.这里选用余弦定理求角是正确的，如果选用正弦定理求角就不合理，一是出现2个角，二是要讨论舍弃1个角，更容易出错；题（２）中，角的范围容易忽略或放大，导致错误. 变式与引申1：已知α，β为锐角，tanα=，sinβ=,求2α+β的值. 题型二 三角函数化简、求值问题 例2 （2011江西卷文科第17题）在中，角A,B,C的对边是a,b,c,已知 （1）求的值 （2）若a=1, ,求边c的值. 点拨(1)合理且灵活运用正弦定理和余弦定理,选择是从角化边入手还是边化角入手；（2）关键是如何利用已知条件恒等变形求出,再利用正弦定理求出. 解：（1）由 正弦定理得： 及：所以。 （2）由 展开易得： 正弦定理： 易错点 本题涉及到正弦定理、诱导公式及三角形内角和为180°这两个知识点的考查, 不知道利用将已知条件中的角化成同角,从而利用恒等变形得出.再由正弦定理求出 变式与引申2：（2011江西卷文理科科第17题）在△ABC中，角的对边分别是，已知. 求的值； 若，求边的值. 题型三 三角函数的取值范围问题 例3 ．已知函数. （1）若，求； （2）若，求的取值范围. 点 拨 通过“切化弦”，“降次”等手段，再利用万能公式或“齐次式”可解决第（1）题；第（2）题则首先化为一个三角函数的形式，再根据角的范围来求的取值范围. 解：（1） ， 由得， ，所以. （2）由（1）得 由得，所以 从而. 其它解法思路：题（1）有以下解法: 故 易错点 记错二倍角或万能公式；不会在区间上，联系三角函数图像求函数的取值范围；或运用公式不合理，产生错误.例如用，去求，容易出现符号处理带来的麻烦等等. 变式与引申3：已知向量，，且，其中A、B、C是ABC的内角，分别是角A，B，C的对边． （1）求角C的大小； （2）求的取值范围． 题型四 三角函数化简、求值的综合应用 例4 已知角是三角形的三内角，向量,,， 且. （1）求角； （2）求；（3）若边的长 ... ...
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