课时分层作业(十六) 等比数列前n项和的性质及应用 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于( ) A．7 B．8 C．15 D．16 C [由题意得4a2＝4a1＋a3， ∴4(a1q)＝4a1＋a1·q2， ∴q＝2，∴S4＝＝15.] 2．已知等比数列{an}的前3项和为1，前6项和为9，则它的公比q等于( ) A． B．1 C．2 D．4 C [S3＝1，S6＝9， ∴S6－S3＝8＝a4＋a5＋a6＝q3(S3)＝q3，∴q3＝8，∴q＝2.] 3．等比数列{an}的首项为1，公比为q，前n项和为S，由原数列各项的倒数组成一个新数列，则数列的前n项和是( ) A． B．Sqn－1 C．Sq1－n D． C [易知数列也是等比数列，首项为1，公比为，则数列的前n项和为＝＝·＝＝Sq1－n.] 4．设数列{xn}满足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N )，且x1＋x2＋…＋x10＝10 ，记{xn}的前n项和为Sn，则S20等于( ) A．1 025 B．1 024 C．10 250 D．20 240 C [∵log2xn＋1＝1＋log2xn＝log2(2xn)， ∴xn＋1＝2xn，且xn>0，∴{xn}为等比数列，且公比q＝2，∴S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10 250，故选C.] 5．已知等比数列{an}的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S1＝8，S2＝20，S3＝36，S4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为( ) A．S1 B．S2 C．S3 D．S4 C [由题知S1正确． 若S4错误，则S2，S3正确，于是a1＝8，a2＝S2－S1＝12，a3＝S3－S2＝16，与{an}为等比数列矛盾，故S4＝65. 若S3错误，则S2正确，此时，a1＝8，a2＝12，得q＝，a3＝18，a4＝27，S4＝65，满足题设，故选C.] 二、填空题 6．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k＝ ． －1 [由an＋1＝can知数列{an}为等比数列． 又∵Sn＝3n＋k，由等比数列前n项和的特点知k＝－1.] 7．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝ ． 2 [设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1， S2n＝， S奇＝. 由题意得＝. ∴1＋q＝3，∴q＝2.] 8．数列11，103，1 005，10 007，…的前n项和Sn＝ ． (10n－1)＋n2 [数列的通项公式an＝10n＋(2n－1). 所以Sn＝(10＋1)＋(102＋3)＋…＋(10n＋2n－1)＝(10＋102＋…＋10n)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝＋＝(10n－1)＋n2.] 三、解答题 9．在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，求S20的值． [解] ∵S30≠3S10，∴q≠1. 由得 ∴ ∴q20＋q10－12＝0，∴q10＝3， ∴S20＝＝S10(1＋q10)＝10×(1＋3)＝40. 10．在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值． [解] (1)设等差数列{an}的公差为d. 由已知得 解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2. (2)由(1)可得bn＝2n＋n， 所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝＋ ＝(211－2)＋55 ＝211＋53＝2 101. 1．在各项都为正数的数列{an}中，首项a1＝2，且点(a，a)在直线x－9y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn等于( ) A.3n－1 B． C． D． A [由点(a，a)在直线x－9y＝0上，得a－9a＝0，即(an＋3an－1)(an－3an－1)＝0，又数列{an}各项均为正数，且a1＝2，∴an＋3an－1＞0，∴an－3an－1＝0，即＝3，∴数列{an}是首项a1＝2，公比q＝3的等比数列，其前n项和Sn＝＝＝3n－1.] 2．设数列{an}的前n项和为Sn，称Tn＝为数列a1，a2，a3，…，an的“理想数”，已知数列a1，a2，a3，a4，a5的理想数为2 014，则数列2，a1，a2，…，a5的“理想数”为( ) A．1 673 B．1 675 C． D． D [因为数列a1，a2，…，a5的“理想数”为2 014，所以＝2 014，即S1＋S2＋ ... ...
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