宿州市十三所重点中学2020—2021学年度第二学期期中质量检测 高二年级数学（理科）试卷参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C A C B A D D D B B D 填空题 14、 15、 16、 三、解答题 17、（1）函数的定义域为.求导得 当a=-1时，令，解得， 函数的单调递增区间为， ;减区间为 ..........5分 （2）由（1）可知，当时，函数在区间上单调递减，在上单调递增， 于是当时，函数取到极大值，极大值为，故的值为.......10分 18.证明：（1）要证原不等式，只需证． ，两边均大于零． 因此只需证， 只需证， 只需证，即证 而显然成立，原不等式成立．............6分 （2）（反证法）： 假设结论不成立，即方程与方程都没有实根， 则判别式满足 ， ， ?这 即假设不成立，则原命题成立．.........................6分 19.解：（Ⅰ）令得：…… 2分 （Ⅱ）由 …… 4分 （Ⅲ）由（Ⅱ）猜想 证明如下：（1）当时，，猜想成立 假设时猜想成立，即 则 所以当时，猜想也成立 综合（1）（2）可知，对一切，都有成立. ……12分 20、解： 21、（1）由得 ∵，∴直线与的图象的交点横坐标分别为0,1+t , 由定积分的几何意义知： ， .......................6分 （2）∵曲线方程为，，∴， ∴点不在曲线上。设切点为，则点M的坐标满足 ,因，故切线的斜率为 ，整理得. ∵过点可作曲线的三条切线， ∴关于x0方程有三个实根. 设，则，由得 ∵当∴在上单调递增， ∵当，∴在上单调递减. ∴函数的极值点为， ∴关于x0方程有三个实根的充要条件是， 解得，故所求的实数m的取值范围是。 ...............12分 22、解：1． 当时，， 在上单调递增，在上单调递减； 当时，或， 在，上单调递增，在上单调递减； 当时，或， 在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上恒成立， 所以在上单调递增；................6分 2． 且的两个零点从小到大依次为， ，是方程的两个根， 又，且所以 欲证，即证 只需证 令， 在上单调递增，上单调递减， ，即成立．.............12分。
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