3.1.1 数系的扩充与复数的概念 自然数、负数、分数、无理数这些概念是分别在一些什么样的社会生产背景下建立起来的？ (1)自然数：计数的需要 (2)分数：整数集中不能整除。 (4)无理数：开方开不尽。 (3)负数：表示相反意义的量、计数需要。 数的概念和发展 一、复习回顾 N Z Q R 数系的扩充 自然数 整数 有理数 无理数 实数 用图形表示包含关系： 一、复习回顾 N Z Q R 自然数 分数 有理数 无理数 实数 ①分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾。 负数 ② ③ 整数 ① 分数 ②负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾。 ③无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。 ④在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数，才能解决这个矛盾呢？ 解一元二次方程x2+1=0在实数范围内无解． 思考： 我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？ 引入一个新数：i 满足 二、知识引入 在解方程时经常会遇到这类问题.如果负数可以开平方，那这个平方根不会是实数，是什么数呢? 现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定： (1)i2??1； (2)实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 1、复数的概念： 三、知识新授 如2i、3i、2+i、3+2i等 全体复数所成的集合C叫做复数集， 即C={a+bi|a,b∈R} 2、复数的代数形式： 三、知识新授 其中a —实部 , b —虚部 , i称为虚数单位. 讨论：复数集C和实数集R之间有什么关系? 复数a+bi 实数 (b=0) 虚数 (b≠0) 纯虚数 非纯虚数 (a=0，b≠0) (a≠0，b≠0) 3、复数的分类 无论怎么样的数都叫复数，复数集C是目前我们学过的最大数集 -1的一个平方根为 ; 一般地，a(a>0)的平方根为 、 - a (a>0)的平方根为 复数z=a+bi (a、b?R) 实数 小数 (b=0) 有理数 无理数 分数 正分数 负分数 零 不循环小数 虚数 (b?0) 特别的 当 a=0 时 纯虚数 说明下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。 练一练： 例1、实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是 (1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数. 练习2、当m为何实数时，复数 是 (1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数. (1)m=5 (2)m≠5且m≠-3 (3)m=3或m=-2 练习1、当m为何实数时，复数z=m2+m-2+(m2-1)i是 (1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数. 特别 4、两个复数相等： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等． a+bi=0 注意：不全为实数的两个复数不能比较大小，只能判定相等或不相等.全为实数时，可比较大小 例2、已知(2x-1)+i=y-(3-y)i，其中x，y∈R， 求x与y 解：根据复数相等的定义，得方程组 得 练习3、已知(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i，求实数x，y的值; x=3，y=-2 练习4、若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i =0，求x的值. x=2 例3、若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0，至少有一个实数根，求实数m的值. 练习5、已知不等式m2-(m2-3m)i<10+(m2-4m+3)i，试求实数m的值. 解题反思： 复数相等的问题 转化 求方程组的解的问题 一种重要的数学思想：转化思想 两个实数可以比较大小 实数与虚数不可以比较大小 虚数与虚数不可以比较大小 注意： 练习6、解方程(x-1)(x2+x+1)=0 复系数的一元n次方程在复数范围内恰有n个根 复数的引进,实现了人们的一个理想 1、虚数单位i的引入； 2、复数有关概念： 复数的代数形式: 复数的实部 ，虚部 . 复数相等 实数： 虚数： 纯虚数： 小结: 卡丹诺(Girolamo Cardano; 1501 ? 1576) 一个多才多艺的学者 一个放诞不羁的无赖 他精通数学、医学、语言学、天文学、占星学 一生充满传奇，人们称他为“怪杰”。 1545年，卡丹诺在他的著作《大术》(Ars Magna)中，介绍了解三 ... ...
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