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课件网) 4.3 一元二次不等式的应用 自主预习·新知导学 合作探究·释疑解惑 易 错 辨 析 随 堂 练 习 课标定位 素养阐释 1.能够从实际生产和生活中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决. 2.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法. 3.体会化归与转化思想的应用,加强数学建模素养的培养. 自主预习·新知导学 一、与一元二次不等式有关的恒成立问题 【问题思考】 1.x-1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是什么?区间[2,3]与不等式x-1>0的解集有什么关系? 提示:x-1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是函数y=x-1在区间[2,3]上的图象恒在x轴的上方.区间[2,3]内的元素一定是不等式x-1>0的解,反之不一定成立,故区间[2,3]是不等式x-1>0的解集的子集. 2.抽象概括 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是R的等价条件是a>0,且Δ<0;一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集是R的等价条件是a<0,且Δ<0. 二、一元二次不等式在实际生活中的应用 【问题思考】 1.在一条限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离刚好是12 m,乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s(单位:m)与车速x(单位:km/h)之间分别有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.问:甲、乙两车有无超速现象? 提示:由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x2=12, 即x2+10x-1 200=0,解得x=30或x=-40(舍去). 这表明甲车的车速为30 km/h, 甲车车速没有超过限速40 km/h. 对于乙车,有0.05x+0.005x2>10,即x2+10x-2 000>0, 解得x>40或x<-50(舍去). 这表明乙车车速超过40 km/h,超过规定限速. 2.利用不等式解决实际问题的一般步骤: (1)选取合适的字母表示题中的未知数; (2)由题中给出的不等关系,列出关于未知数的不等式(组); (3)求解所列出的不等式(组); (4)结合题目的实际意义确定答案. 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)若不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x
x2},则方程ax2+bx+c=0的两个实数根是x1和x2.( √ ) (2)不等式ax2+bx+c<0在R上恒成立的条件是a<0,且Δ=b2-4ac<0.( √ ) (3)若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则不等式ax2+bx+c<0的解集一定是空集.( × ) 合作探究·释疑解惑 探究一 探究二 探究一与一元二次不等式有关的恒成立问题 【例1】 关于x的一元二次不等式2x2-8x+6-m>0的解集是R,求实数m的取值范围. 分析1:a=2>0,Δ<0→求m的取值范围 分析2:原不等式转化为m<2x2-8x+6→根据已知求2x2-8x+6的最小值→由m<(2x2-8x+6)min确定m的取值范围 解法1:要使2x2-8x+6-m>0的解集是R,即2x2-8x+6-m>0在R上恒成立, 又∵函数y=2x2-8x+6-m的图象开口向上, ∴只需Δ=64-8(6-m)<0,解得m<-2. 故m的取值范围是(-∞,-2). 解法2:要使2x2-8x+6-m>0的解集是R,即2x2-8x+6-m>0在R上恒成立,即m<2x2-8x+6在R上恒成立,只需m<(2x2-8x+6)min,设y=2x2-8x+6,则当x=2时,函数取得最小值-2, ∴m<-2,即所求m的取值范围为(-∞,-2). 1.若把本例的不等式改为:关于x的一元二次不等式mx2-8x+6>0,其他不变,如何求m的取值范围? 2.若把本例的不等式改为:关于x的一元二次不等式2x2-mx+6<0有解,其他不变,如何求m的取值范围? 与一元二次不等式有关的恒成立问题的解题方法 (1)判别式法; (2)若不等式中的参数比较“孤单”,便可将参数分离出来,利用a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min求解. 【变式训练1】 若对于一切实数x,mx2-mx-1<0恒成立,求实数m的取值范围. 解:若m=0,显然-1<0,满足题意; 若m≠0,要使mx2-mx-1<0恒成立, 故实数m的取值范围为-4