中小学教育资源及组卷应用平台 【圆综合证明技巧专练】 【相关思维通法】 【作直径三角形】如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，求∠F的度数 【解答】解：连接FB． ∵∠AOF＝40°， ∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°， ∴∠FEB＝∠FOB＝70° ∵EF＝EB ∴∠EFB＝∠EBF＝55°， ∵FO＝BO， ∴∠OFB＝∠OBF＝20°， ∴∠EFO＝∠EBO， ∠EFO＝∠EFB﹣∠OFB＝35°， 【同角的三角函数值相等·利用圆周角·构造直角】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD．过点D作DE⊥AB于点E．连接AC交DE于点F．若sin∠CAB=，DF=5，求BC的长 【解析】连接BD． ∵AD=CD，∴∠DAC=∠ACD． ∵AB为直径，∴∠ADB=∠ACB=90°．∴∠DAB+∠ABD=90°． ∵DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°．∴∠ADE=∠ABD． ∵∠ABD=∠ACD，∴∠DAC=∠ADE．∴AF=DF=5． 在Rt△AEF中，sin∠CAB= ∴EF=3，AE=4．∴DE=3+5=8． 由DE2=AE ?EB，得． ∴AB=16+4=20． 在Rt△ABC中，sin∠CAB= ∴BC=12． 【多直角利用相似求半径·半径都相等】如图，AB是的直径，直线DE与相切于点C，过点A，B分别作，，垂足为点D，E，连接AC，BC．若，，求的长 【解题过程】连接OC， 因为，， 所以 所以 因为AB是的直径， 所以， 所以， 所以， 在△ADC与△CED, 因为， 所以△ADC∽△CED, 所以 在Rt△ACB中，， 所以， 又因为， 所以△AOC是等边三角形， 所以， 因为直线DE与 相切于点C， 所以， 因为，， 所以AD//OC， 所以， 所以， 所以， 所以△AOC是等边三角形， 所以，， 所以的长为． 【根据所给的边长找相似·连接相邻圆周角】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E，若DE=3，求AD 【解析】连接BE，因为∠DAE=∠DBE，∠DAE=∠ACB，所以∠DBE=∠ACB，因为BD是直径，所以∠BED=90°，∠DAB=90°，因为AD∥BC，所以∠ABC=180°-∠DAB=90°，所以∠BED=∠ABC，△BED∽△CBA，所以，得到BE=6，Rt△BED中，可得BD=，在Rt△ADB中，可得AD=， 【比例设元·平行出现相似】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点E在BC边上，且CA=CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF． （1）求证：四边形DCFG是平行四边形； （2）当BE=4，CD=AB时，求⊙O的直径长． 【解题过程】（1）连接AE. ∵∠BAC=90°，∴CF是⊙O的直径. ∵ AC=EC，∴CF⊥AE.∵AD为⊙O的直径，∴∠AED=90°，即GD⊥AE，∴CF∥DG. ∵ AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∴∠ACD+∠BAC=180°，∴AB∥CD，∴四边形DCFG为平行四边形； （2）由CD=AB，可设CD=3x,AB=8x，∴CD=FG=3x. ∵ ∠AOF=∠COD，∴AF=CD=3x，∴BG=8x-3x-3x=2x. ∵ GE∥CF，∴△BGE∽△CDE，∴. 又∵ BE=4，∴AC=CE=6，∴BC=6+4=10，∴AB==8=8x，∴x=1. 在Rt△ACF中，AF=3，AC=6，∴CF==3，即⊙O的直径长为3. 【三角函数值化成比例·再设元】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F． 求证：DO∥AC； 求证：DE?DA＝DC2； 若tan∠CAD，求sin∠CDA的值． 【解题过程】解：（1）∵点D是中点，OD是圆的半径，∴OD⊥BC，∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC∥OD； （2）∵，∴∠CAD＝∠DCB，∴△DCE∽△DCA，∴CD2＝DE?DA； （3）∵tan∠CAD，∴△DCE和△DAC的相似比为，设：DE＝a，则CD＝2a，AD＝4a，AE＝3a， ∴3，即△AEC和△DEF的相似比为3，设EF＝k，则CE＝3k，BC＝8k，tan∠CAD，∴AC＝6k，AB＝10k，∴sin∠CDA． 【多留意圆内接四边形·利用三角函数值反求角度】如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，DE⊥AB交AB于点E，交⊙O于点F． (1)延长DC、FB交于点P，求证：PB=PC； (2) 如图2，过点B ... ...
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