挑战满分大题专练（二十五）—综合练习（11）—不等式-2021届高三高考数学三轮复习（Word含解析）

挑战满分大题专练（二十五）—综合练习（11） 1．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题（2）中，并完成问题的解答． 问题：已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若 ____，求的面积． 解：（1）， 由正弦定理可得， 又， ， 又， ，可得． （2）①若，由余弦定理得：， ，， ． ②若，由余弦定理得：， 整理得：， 解得：，或（舍去）， ． （注若利用正弦定理解可减少计算量） ③若，则， 由正弦定理得：，可得， 可得． 2．已知数列的前项和为，且，数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：． 解：（1）， 时，，两式相减可得：，化为：， 数列满足，． 时，，解得． 数列是等比数列，首项为1，公比为2， ． （2）证明：由，， ， ， ． 3．如图，四边形为梯形，，于，于，，，，现沿将折起使为正三角形，且平面平面，过的平面与线段、分别交于、． （1）求证：； （2）在棱上（不含端点）是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，请确定点的位置；若不存在，说明理由． （1）证明：，，， 在四棱锥中，平面， 平面，平面， 又平面平面， ， 平面平面且交于，， 平面，即平面， 又平面，； （2）解：存在，为棱上靠近点的四等分点． ，， 连接，，又平面平面，且平面平面， 平面． 如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，0，，，1，，，0，，，0，， ，，， 设，，则，0，，，0，， 设平面的一个法向量为，则 ， 不妨令，则，， 设直线与平面所成角为，则有 ， 解得或（舍． ，即在棱上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 为棱上靠近点的四等分点． 4．某城市为疏导城市内的交通拥堵问题，现对城市中某条快速路进行限速，经智能交通管理服务系统观测计算，通过该快速路的所有车辆行驶速度近似服从正态分布，其中平均车速，标准差．通过分析，车速保持在，之间，可令道路保持良好的行驶状况，故认为车速在，之外的车辆需矫正速度（速度单位：． （1）从该快速路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆需矫正速度的概率． （2）某兴趣小组也对该快速路进行了观测，他们于某个时间段内随机对100辆车的速度进行取样，根据测量的数据列出如图的条形图． ①估计这100辆车的速度的中位数（同一区间中数据视为均匀分布）； ②若以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率，从该快速路上的所有车辆中任取三辆，记其中不需要矫正速度的车辆数为，求的分布列和期望． （附：若，则；； 解：（1）由正态分布的对称性可知，若， 则， 所以； （2）中位数为； 设事件表示“从该快速路上的所有车辆中任取一辆，且该车不需要矫正速度”， 则（A）， 所以，由题意可知， 所以，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 ． 5．过点作直线交抛物线于，两点，为坐标原点，分别过、点作抛物线的切线，设两切线交于点． （1）求证：点在一条定直线上； （2）设直线，分别交直线于点，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）设的面积为，的面积为，记，求的最小值． 解：（1）将代入得，△． 令，，，，则，， 抛物线在点处的切线方程为：，即， 抛物线在点处的切线方程为：，即， 联立解得点的坐标为，，即． 所以，点在定直线上． （2）（Ⅰ）将与联立得，， 将与联立得，， 因为，所以轴，同理轴， 所以，所以， 所以， 即， 所以． （Ⅱ），， ， 令，则，令， 因为， 所以在，上递增， 所以， 所以时，． 6．已知函数． （1）当时，讨论函数极值点的个数； （2）当，时，都有，求实数的取值范围． 解：（1），， 记，， 令，得，， 当时，，单调递减，， 当时，，单调递增，， ①当，即，，单调递增，无极值点； ②当且，即时， 有两个不同的根， ... ...