8.3简单几何的表面积与体积-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册讲义

1、了解空间几何体的表面积、侧面积 2、掌握空间几何体的体积 3、理解空间几何的应用与运算 一、棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积 1.棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和 2.棱柱、棱锥、棱台的体积 棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V=Sh 棱锥：椎体的底面面积为S，高为h，则V=Sh 棱台：台体的上、下底面面积分别为，,高为h，则 二、圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积 1、表面积 圆柱表面积：（r是底面半径，l是母线长） 2.圆锥表面积：=（r是底面半径，l是母线长） 3.圆台表面积：（分别是上、下底面半径，是母线长） 4.球的表面积： 2、体积 （1）圆柱体积：（r是底面半径，h是高） （2）圆锥体积：（r是底面半径，h是高） （3）圆台体积：（分别是上、下底面半径，是高） （4）球的体积： 1.已知在三棱柱 中， ， ，侧棱与底面垂直，点 ， 分别是棱 ， 的中点. （1）求三棱柱 外接球的表面积； （2）设平面 截三棱柱 的外接球面所得小圆的圆心为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】 （1）解：据已知条件，取 的中点 ，以 所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴，以过点 且和 平行的直线为 轴，建立空间直角坐标系如图所示： 由已知可得 ， ， ， ， ， ， 设球心 的坐标为 ，则 ，且 所以 ， 解得： ， ，所以 ， 所以 ， 所以外接球的表面积 （2）解：由（1）可知：所以 ， ， 因为 ，所以 ， 同理 ， 设平面 的法向量 ， 则 ， 即 ，取 ，则 ， ， 所以 ， 由（1）可知，截面圆的圆心 在 的延长线上，且 ， 所以 ， 设直线 与平面 所成的角大小为 ， 所以 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 【考点】球的体积和表面积，用空间向量求直线与平面的夹角 【解析】（1） 利用已知条件，取 的中点 ，以 所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴，以过点 且和 平行的直线为 轴，建立空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用已知条件求出球心的坐标，再结合两点距离公式求出球的半径，再结合球的表面积公式，进而求出三棱柱 外接球的表面积。 （2） 由（1）可知 ， ， 再利用向量共线的坐标表示结合三角形法则和向量的坐标运算，进而结合向量的数量积求夹角公式，进而结合诱导公式求出直线 与平面 所成角的正弦值。 2.如图，已知三棱柱 的底面是边长为2的正三角形，侧面 为菱形， 为其两对角线的交点， ， ， ， 分别为 ， 的中点，顶点 在底面 的射影 为底面中心． （1）求证： 平面 ，且 平面 ； （2）求三棱锥 的体积． 【答案】 （1）证明：如图所示： 取 的中点 ，连接 ， ， 因为 为的中点， 所以 ，又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ； 同理 平面 ， 又 ， 所以平面 平面 ， 又 平面 ， 所以 平面 . 因为侧面 为菱形， ， 所以 ， ，则 ， ， 又 ， 所以在 中， ， 所以 ，因为 ， 所以 ， 又 ，且 ， 所以 平面 （2）解：由（1）知 平面 ，所以 是三棱锥的高， 又 ，则 ， 所以平行四边形 是矩形， 所以 ， 则 ， 则 ， 所以 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，用空间向量求平面间的夹角 【解析】 （1）①取AA1中点M，利用中位线定理证明DM∥AC1 ， EM∥AB，从而可证明平面DME∥平面ABC1 ， 即可证明DE∥平面ABC1；②已知B1O⊥平面ABC，从而证明AB⊥B1O，再利用三角形的中心，得到CO⊥AB，证出AB⊥平面CB1O，可得B1C⊥AB，由侧面BCC1B1为菱形，即可证明BC1⊥平面ABC1； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需各点的坐标，利用待定系数法求出两个平面的法向量，然后利用向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可． 3.如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形 ... ...