2021_2022学年新教材高中数学第一章直线与圆1.1-1.4学案（5份打包）北师大版选择性必修第一册

第一章　直 线 与 圆 §1　直线与直线的方程 1．1　一次函数的图象与直线的方程 1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系 必备知识·自主学习 导思 1.什么是直线的倾斜角？其范围是什么？2．什么是直线的斜率？所有直线都有斜率吗？ 1.直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角，通常倾斜角用α表示． (2)特例：若直线与x轴平行或重合，则规定这条直线的倾斜角为0． (3)范围：[0，π). (1)如图：直线l的倾斜角是30°吗？ 提示：不是，直线l的倾斜角为150°. (2)倾斜角相等的直线的倾斜程度是否相同？ 提示：倾斜角相等的直线的倾斜程度相同． 2．斜率的概念 (1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值． (2)记法：k＝tan α. 斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？ 提示：当k＝tan α＜0时，倾斜角α是钝角； 当k＝tan α＞0时，倾斜角α是锐角； 当k＝tan α＝0时，倾斜角α是0°. 3．经过不同两点的直线的斜率公式 经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率：k＝． 提醒：斜率的大小与两点在直线上的位置无关． 利用过两点的直线的斜率公式能求任意一条直线的斜率吗？为什么？ 提示：不能，当直线与x轴垂直时，k＝无意义． 4．直线的斜率与倾斜角的关系 (1)当α∈时，斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而增大； (2)当α∈时，斜率k＜0，且k随倾斜角α的增大而增大； (3)α＝时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在． 5．直线的方向向量 若k是直线l的斜率，则v＝(1，k)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝． 1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”) (1)下图中标的α都不是对应直线的倾斜角．(　　) (2)任一直线都有倾斜角，都存在斜率．(　　) (3)倾斜角为135°的直线的斜率为1.(　　) (4)若直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α.(　　) (5)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．(　　) 提示：(1)√.x轴的正向与直线向上的方向之间所成的角是直线的倾斜角，所以图中的四个α都不是对应直线的倾斜角． (2)×.倾斜角为90°的直线不存在斜率． (3)×.倾斜角为135°的直线的斜率为－1. (4)×.倾斜角α不等于90°时，它的斜率才是k＝tan α. (5)√.若两条直线平行，则它们的方向向量也平行，故它们的方向向量的方向相同或相反． 2．如图所示，直线l与y轴的夹角为45°，则l的倾斜角为(　　) A．45° B．135° C．0° D．无法计算 【解析】选B.根据倾斜角的定义知，l的倾斜角为135°. 3．(教材二次开发：例题改编)已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1，则m的值是(　　) A．5 B．8 C． D．7 【解析】选C.由斜率公式可得＝1， 解得m＝. 4．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(　　) A． B． C．1 D． 【解析】选A.由题意可知直线l的斜率k＝tan 30°＝. 5．已知直线l经过两点P(1，2)，Q(－2，1)，那么直线l的一个方向向量为_____；斜率为_____． 【解析】由已知可得＝(－2，1)－(1，2)＝(－3，－1)是直线l的一个方向向量．则(－1，3)是直线l的一个法向量，直线l的斜率k＝＝. 答案：(－3，－1)(答案不唯一)　 关键能力·合作学习 类型一　直线的倾斜角、斜率的概念(数学抽象) 1．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135° 2．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　) A．α ... ...