高中学数学竞赛(自主招生)必备的高等数学知识

高中学数学竞赛决赛（自主招生）必备的高等数学知识 高中学数学竞赛决赛（自主招生）必备的高等数学知识 集 合 集合的概念 ：我们把所要研究的事物全体称为集合，构成集合的事物称为元素，集合一般用大写字母A、B、C……表示，元素一般用小写字母a、b、c……表示。 如果元素是集合A中的元素，记，否则记 有限集：只有有限个元素的集合。 无限集：有无穷多个元素的集合。 空集：不含有任何元素的集合叫空集，记 集合的表示方法 列举法：如 ， 描述法：如 ， 子集：如果集合A中的元素都是B的元素，称A是B的子集（或称A包含于B），记 如：,,则。 并集：集合A与集合B的元素放在一起构成的集合，称为A与B的并集。记，即 如： 则: 交集：记集合A与集合B的公共元素构成的集合，称为A与B的交集， 记 。 如：， 则: 绝对值与绝对值不等式 (?javascript:onclick=gohref('129','1','1','2','0','0')" \o "第1章1节2点-绝对值与绝对值不等式 - (时长:0时9分59秒)?) 几何意义：点到原点的距离。 几何意义：点到点的距离。 性质： 1） ， 2） ， 3） ； 4）设 ， ； 5） ；6） 7） 例1：解下列不等式 1） ， 2） ， 3） 4） ， 5） 解：1） 2） 3） 或 或 4） 5） 或 区间与邻域 (?javascript:onclick=gohref('129','1','1','3','0','0')" \o "第1章1节3点-区间与邻域 - (时长:0时6分20秒)?) 设 为实数， ， 称为以 、 为端点的开区间， 称为以 、 为端点的闭区间， ?， 以上为有限区间 ?， ? 以上为无穷区间 称为 点的 邻域， 为对称中心， 为半径。 称为 点的去心邻域。 函数的定义 (?javascript:onclick=gohref('129','1','1','4','0','0')" \o "第1章1节4点-函数的定义 - (时长:0时19分51秒)?) 设有两个变量 与 ，当变量在实数某范围任取一值时，变量按确定的规则有确定的值与之对应，那么称是的函数，记。叫自变量，叫因变量，的取值范围称为函数的定义域，记。对称为函数在点的函数值，所有函数值的集合称为值域。记。 说明： （1）定义中的记号 表示自变量与因变量的对应法则。 （2）函数的两要素：定义域与对应法则。 与表示同一函数； 与表示同一函数； 与表示不同的函数； 与表示不同函数。 （3）单值函数与多值函数 对于函数 ，如果对自变量 的一个取值，函数 只有一个数值与之对应，则称函数 是单值函数；如果对自变量 的一个取值，函数 有两个或更多个数值与之对应，则称函数 是多值函数；如： 是单值函数， 是多值函数。 （4）定义域 实际问题中建立的函数关系，其定义域要根据实际问题来确定，而用数学式表达的函数，当不表示任何实际意义时，其定义域由函数表达式来确定。 ??定义域求法 （i）分母不能为零； （ii）偶次根号内部分不能小于零； （iii）对数函数中，真数部分要大于零； （iv）反三角函数 中要 。 ??例2 求下列函数的定义域 1） 2) 3) 4） 解：（1） 定义域为： （2） 定义域为：（2，3] （3）定义域为： （4） 所以定义域为： 例3 已知 的定义域为 ，求 的定义域。 解 的定义域为（0，1） 例4 设 ,求 。 解 例5 设 满足 ，求 。 解 设 ，则 ， ，即 。 例6 已知 ，求 。 解 令 ，则 ， ? 函数的表示方法 (?javascript:onclick=gohref('129','1','1','5','0','0')" \o "第1章1节5点-函数的表示方法 - (时长:0时12分52秒)?) 公式法，表格法，图示法。 分段函数：在不同区间上用不同的解析式表示的函数 如： 符号函数： ? ? 例7设 求（1） 的定义域； （2） ；（3） 时， 解 （1）定义域为： （2） ， ， ?， （3） 例8将函数 写成分段函数的形式。 解 例9设 ， 则 时， 的表达式为 。 函数的简单性质 (?javascript:onclick=gohref('129','1','1','6','0','0')" \o "第1章1节6点-函数的简单性质 - (时长:0时39分2 ... ...