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课件网) §2.1.1 椭圆及其标准方程 教具上有一条定长且没有弹性的细绳，绳子的两端拉开了一段距离，分别固定在了图板的两点处，下面请同学们套上笔，拉紧绳子，移动笔尖，看能画出什么图形？ 实验探究（教材第32页）： （一）引入实验 椭圆定义的探讨： M F1 F2 注意:椭圆定义中的关键点： （1） 平面内 --这是大前提. （2）动点M与两定点 的距离的和等于常数2a． （3）距离的和2a 大于焦距2c ，即2a>2c>0. 椭圆定义： 平面内与两个定点 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫作椭圆. |MF1|+|MF2|=2a M F1 F2 椭圆上的点M与F1， F2的距离的和记为2a。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ,记焦距为2c， (2a>2c>0, |F1F2|=2c) 绳长等于两定点间 距离即2a=2c 时, 绳长小于两定点间 距离即2a<2c时， M F1 F2 F1 F2 思考 为什么要求 轨迹为线段F1F2； 无轨迹。 求曲线方程的步骤是什么？ （1）建立适当的坐标系，设曲线上任意一点M的坐标为(x，y); （2）找出限制条件 p(M); （3）把坐标代入限制条件p(M) ，列出方程 f (x，y)=0; （4）化简方程 f (x，y)=0; （5）检验(可以省略,如有特殊情况，适当说明) 结合椭圆的几何特征，有哪些建系方法？如何建系才能使椭圆的方程简单？ M F1 F2 建立平面直角坐标系一般遵循的原则：对称、简洁 方案一 ? 建立平面直角坐标系的常见方案 方案二 方案三 方案四 其它方案…… 以F1、F2 所在直线为 x 轴，线段 F1F2的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系． 由椭圆定义可知 化 代 设 建 F1 F2 x y M( x , y ) 设 M( x，y )是椭圆上任意一点， 椭圆的焦距为2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0). 则： O 椭圆标准方程的推导 现 限制条件为： 两边同除以 得 又设M与F1， F2的距离的和等于2a F1 F2 x y M( x , y ) 焦点在y轴： 焦点在x轴： 1 o F y x 2 F M( x , y ) 1 2 y o F F M( x , y ) x 椭圆的标准方程 的几何意义 b c a 观察下图：你能从中找出表示 的线段吗？ 探究： a x c a y b 图 形 方 程 焦 点 F(±c，0) F(0，±c) a,b,c之间的关系 c2=a2-b2 |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) 定 义 1 2 y o F F M x 1 o F y x 2 F M 两类标准方程的对照表 注: 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1. 不同点：焦点在x轴的椭圆 项分母较大. 焦点在y轴的椭圆 项分母较大. 例1. 用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆. （1）到F1(-2,0)，F2(2,0)的距离之和为6的点M的轨迹. （2）到F1(-2,0)，F2(2,0)的距离之和为4的点M的轨迹. （3）到F1(-2,0)，F2(2,0)的距离之和为3的点M的轨迹 （二）例题讲解 例2.判断以下哪些方程表示椭圆，如果是，则判断焦点在哪个轴上？指出a2,b2 . （二）例题讲解 例3.(1) 椭圆方程为 ，如果椭圆上一点P到焦点 的距离等于6，那么点P到另一个焦点 的距离是 . (2) 椭圆方程为 ，如果椭圆上一点P到焦点 的距离等于6，则 的周长为 . 14 36 例4.（1）已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，并且经过点P ，求它的标准方程. 解： 由椭圆的定义知 所以 又因为 ， 所以 因此，所求椭圆的标准方程为 定义法 x F1 F2 P O y 例4.已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)， 并且经过点P ，求它的标准方程. 解：因为椭圆的焦点在 轴上，设 由于 所以 ① 又点 在椭圆上 ② 联立方程①②解得 因此所求椭圆的标准方程为 x F1 F2 P O y 待定系数法 例4.已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)， 并且经过点P ，求它的标准方程. 一个概念： 两个方程： 两种方法： 三个意识： |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) 定义法；待定系数法. 类比 ... ...
