3.4.3空间中的角（习题）-2021-2022学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析）

空间中的角 一、选择题 1．已知正四棱锥S?ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 2．如图，在四棱锥P?ABCD中，PD⊥底面ABCD，ABCD为正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，则PG与底面所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 3．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 4．正方体ABCD?A1B1C1D1中，M是DD1的中点，O是底面四边形ABCD的中心，P是棱A1B1上任意一点，则直线OP与AM的夹角是(　　) A． B． C． D．与点P的位置有关 5．把矩形ABCD沿对角线BD折成二面角A?BD?C，若AB＝1，AD＝，AC＝，则平面ABD与平面BCD的夹角为(　　) A．30°　　　　B．60°　　　　C．120°　　　　D．90° 二、填空题 6．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为_____． 7．正四棱锥S?ABCD中，O为顶点在底面上的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角是_____． 8．正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是_____． 三、解答题 9．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D?AF?E与二面角C?BE?F都是60°． (1)证明：平面ABEF⊥EFDC； (2)求二面角E?BC?A的余弦值． 10．如图，四棱锥S?ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1． (1)证明：SD⊥平面SAB； (2)求AB与平面SBC所成的角的正弦值． 能力过关 11．在正三棱柱ABC?A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为(　　) A．60°　　　　B．90°　　C．105°　　　　D．75° 12．如图，在正四面体A?BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 13．(多选题)如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，正确的是(　　) A．O?ABC是正三棱锥 B．直线OB∥平面ACD C．直线AD与OB所成的角是45° D．二面角D?OB?A为45° 14．(一题两空)四边形ABCD是边长为2的正方形，MA和PB都与平面ABCD垂直，且PB＝2MA＝2，则平面PMD与平面ABCD的夹角的余弦值为_____，直线MA与平面PMD所成的角的正弦值为_____． 15．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥BC，若直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1?BC?A的平面角为φ，求证：θ<φ． 一、选择题 1．已知正四棱锥S?ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． C　[建立如图所示空间直角坐标系，令正四棱锥的棱长为2，则A(1，－1，0)，D(－1，－1，0)，S(0，0，)，E， ∴＝，＝(－1，－1，－)， ∴cos〈，〉＝＝－， ∴AE、SD所成的角的余弦值为．] 2．如图，在四棱锥P?ABCD中，PD⊥底面ABCD，ABCD为正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，则PG与底面所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． B　[建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)， 所以G，＝， 又因为平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)， 则cos〈，n〉＝＝－，所以与平面ABCD的法向量所成角的余弦值为－， 所以与平面ABCD所成角的余弦值为＝．] 3．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． D　[以B为原点，直线BC、BA、BB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则D(2，2，0)，B1(0，0，1)，C1(2，0，1)． 设平面BB1D1D的一个法向量n＝(x，y，z)， 则，∴，取n＝(1，－1，0)， 直线 ... ...