中小学教育资源及组卷应用平台 专题16. 不等式选讲-备战2022年高考真题专项汇编（2017-2021） 【解答题组】 1．（2021·全国高考真题（文））已知函数． （1）当时，求不等式的解集; （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1）.（2）. 【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集. （2）利用绝对值不等式化简，由此求得的取值范围. 【详解】（1）当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，则表示数轴上的点到和的距离之和不小于， 当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或， 所以的解集为. （2）依题意，即恒成立， ， 当且仅当时取等号，, 故，所以或，解得. 所以的取值范围是. 【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．解含有两个绝对值，且其中的的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件. 2．（2021·全国高考真题（文））已知函数． （1）画出和的图像； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1）图像见解析；（2） 【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过时的值可求. 【详解】（1）可得，画出图像如下： ，画出函数图像如下： （2）， 如图，在同一个坐标系里画出图像， 是平移了个单位得到， 则要使，需将向左平移，即， 当过时，，解得或（舍去）， 则数形结合可得需至少将向左平移个单位，. 【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解. 3．（2020·全国高考真题（文））已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若，求a的取值范围. 【答案】（1）或；（2）. 【分析】（1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果； （2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果. 【详解】（1）当时，. 当时，，解得：； 当时，，无解； 当时，，解得：； 综上所述：的解集为或. （2）（当且仅当时取等号）， ，解得：或，的取值范围为. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型. 4．（2020·全国高考真题（文））已知函数． （1）画出的图像； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）详解解析；（2）. 【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数的解析式，作出图象； （2）作出函数的图象，根据图象即可解出． 【详解】（1）因为，作出图象，如图所示： （2）将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示： 由，解得． 所以不等式的解集为． 【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题． 5．（2020·全国高考真题（文））设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1． （1）证明：ab+bc+ca<0； （2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析. 【分析】（1）由结合不等式的性质，即可得出证明； （2）不妨设，由题意得出，由，结合基本不等式，即可得出证明. 【详解】（1）. 均不为，则，； （2）不妨设，由可知，， ，. 当且仅当时，取等号，，即. 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题. 6．（2019·全国高考真题（文））设，且. （1）求的最小值； （2）若成立，证明：或. 【答案】(1) ；(2)见详解. 【分析】(1)根据条件，和柯西不等式得到，再讨论是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的代入原不等式，便可得到参数的取值范围. 【详解】 (1) 故等号成立当且仅当而又因 ... ...
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