人教A版选修2-1第三章空间向量与立体几何综合检测题 一、单选题 1．已知空间向量，，若，则实数的值是（ ）． A． B．0 C．1 D．2 2．若二面角α-l-β的大小为120°,则平面α与平面β的法向量的夹角为( ) A．120° B．60° C．120°或60° D．30°或150° 3．若平面α的一个法向量为=(1,0,1),平面β的一个法向量是=(-3,1,3),则平面α与β所成的角等于( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 4．如图,在平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)中,E为BC延长线上一点,,则= A． B． C． D． 5．与向量平行的一个向量的坐标是( ) A． B．(-1,-3,2) C． D．(,-3,-2) 6．在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 7．如图，正方体的棱长为，、分别是棱、上的点，若平面，则与的长度之和为（ ）． A． B． C． D． 8．已知正方体的棱长为，点在上且，点为的中点，则为（ ）． A． B． C． D． 9．已知、、，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是（ ）． A． B． C． D． 10．如图所示，正方形与等腰所在的平面互相垂直，，，、分别是线段、的中点，则与所成的角的余弦值为（ ）． A． B． C． D． 11．已知向量，，若，，则的值是（ ）． A．或 B． C． D．或 12．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 13．已知向量且，，，则的值为_____. 14．在棱长为的正方体中，是线段的中点，是线段的中点，则直线到平面的距离为_____. 15．如图所示，正方体的棱长为是底面的中心，则到平面的距离为_____． 16．在长方体中，，点分别是的中点，则点到直线的距离为_____. 三、解答题 17．在空间四边形中，是线段的中点，在线段上，且. （1）试用表示向量； （2）若，，，，，求的值及 18．如图，等腰，，点是的中点，绕所在的边逆时针旋转一周. （1）求旋转一周所得旋转体的体积和表面积； （2）设逆时针旋转至，旋转角为，求异面直线AC与BD所成角的大小. 19．如图，在长方体中，，点E在棱AB上移动 （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）当E为AB的中点时，求点E到平面的距离． 20．如图，正方体中，、分别为、的中点．选用合适的方法证明以下问题： （1）证明：平面平面； （2）证明：面． 21．如图，四棱锥中，平面、底面为菱形，为的中点. （1）证明：平面； （2）设，菱形的面积为，求二面角的余弦值. 22．已知长方体中，，，E为的中点. （1）证明平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 参考答案 1．C 【分析】 根据空间向量垂直的性质进行求解即可. 【详解】 因为，所以，因此有. 故选：C 2．C 【分析】 利用法向量的夹角和二面角的关系解答. 【详解】 二面角为120°时,其法向量的夹角可能是60°,也可能是120°. 故答案为C 【点睛】 本题主要考查二面角的大小和法向量的夹角的关系，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 3．D 【分析】 先求出，所以α⊥β,即得平面α与β所成的角. 【详解】 因为=(1,0,1)·(-3,1,3)=0,所以α⊥β,即平面α与β所成的角等于90°. 故选:D 【点睛】 (1)本题主要考查利用面面垂直的向量表示，意在考察学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)两平面的法向量垂直，则两平面互相垂直. 4．B 【分析】 如图所示,取的中点,连接,，再求出，即得解. 【详解】 如图所示,取的中点,连接, 则且, 四边形是平行四边形, 且， 又， ， 故答案为B 【点睛】 本题主要考查平行六面体的性质、空间向量的运算法则，意在考查空间想象能力以及利用所学知识解决问题的能力. 5．C 【分析】 根据向量共线定理判定即可． 【详解】 对于A，由于，所以与向量不共线，故A不正确． 对于B，由题意得向量与向 ... ...
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