第二章 平面向量【知识梳理】-2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习（人教A版必修4）

中小学教育资源及组卷应用平台 2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习（人教A版必修四） 知识梳理 第二章　平面向量 知识点一　向量的定义和表示法 1.向量与数量 (1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量. 2.向量的几何表示 (1)带有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素：起点、方向、长度. (2)向量可以用有_?????????è?¨?¤????_向量的大小，也就是向量的长度(或称模)，记作||.向量也可用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，. 知识点二　向量的有关概念 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量 平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量，向量a，b平行，记作a∥b，规定：零向量与任一向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，记作a＝b 相反向量 长度相等且方向相反的向量. 知识点三　向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点四　向量共线定理 如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b＝λa.21cnjy.com 知识点五　平面向量基本定理 1.定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有 且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2.基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 知识点六　两向量的夹角与垂直 1.夹角：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角(如图所示).21·cn·jy·com (1)范围：向量a与b的夹角的范围是0°≤θ≤180°. (2)当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向. 2.垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作a⊥b. 知识点七　平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影 |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 平面向量数量积的有关结论 1）两个向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量和，作＝，＝，则∠AOB＝θ 叫做向量与的夹角． 夹角范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°与同向时，夹角θ＝0°；与反向时， 夹角θ＝180°. （3）向量垂直：如果向量与的夹角是90°，则与垂直，记作⊥. 2）平面向量数量积 （1）已知两个非零向量与，则数量叫做与的数量积，记作， 即＝，其中θ是与的夹角． 规定. 当⊥时，θ＝90°，这时. （2）的几何意义： 数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积． 3）向量数量积的性质： （1），. （2）(θ为与的夹角). （3）. 4）数量积的运算律 （1）交换律：. （2）分配律： （3）对. 5）平面向量数量积的几何意义 (1)条件：向量a与b的夹角为θ. (2)投影： 向量b在a方向上的射影 |b|cos θ 向量a在b方向上的射影 |a|cos θ (3)a·b的几何意义： 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积. 6）平面向量数量积的性质 当0°≤θ＜90°，非零向量的数量积为正数. 当θ＝90 ... ...