1.2.2 基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则(二) 自主学习 新知突破 1．能利用导数的四则运算法则求解导函数． 2．能利用复合函数的求导法则进行复合函数的求导． [问题2] 试求F(x)＝f(x)＋g(x)的导数． [问题3] F(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？ [提示3] F(x)的导数等于f(x)，g(x)导数和． 设两个函数分别为f(x)和g(x) 导数的运算法则 两个函数的 和的导数 [f(x)＋g(x)]′＝_____ 两个函数的 差的导数 [f(x)－g(x)]′＝_____ 两个函数的 积的导数 [f(x)·g(x)]′＝_____ 两个函数的 商的导数 ＝_____ f′(x)＋g′(x) f′(x)－g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 1．应用导数的运算法则应注意的问题 (1)对于教材中给出的导数的运算法则，不要求根据导数定义进行推导，只要能熟练运用运算法则求简单函数的导数即可． (2)对于和差的导数运算法则，此法则可推广到任意有限个可导函数的和或差，即[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)± f′2(x) ±…±f′n(x)． 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝_____.即y对x的导数等于_____ _____． 复合函数的导数 yu′·ux′ y对u的导数 与u对x的导数的乘积 2．复合函数求导应注意的问题 (1)简单复合函数均是由基本初等函数复合而成的，对于常用的基本函数要熟悉． (2)求复合函数的导数，关键要分清函数的复合关系，特别要注意中间变量． (3)要注意复合函数的求导法则与四则运算求导法则的综合运用． 1．已知函数f(x)＝cos x＋ln x，则f′(1)的值为( ) A．1－sin 1 B．1＋sin 1 C．sin 1－1 D．－sin 1 答案： A 2．函数y＝sin x·cos x的导数是( ) A．y′＝cos2x＋sin2x B．y′＝cos2x－sin2x C．y′＝2cos x·sin x D．y′＝cos x·sin x 解析： y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cos x＋sin x·(－sin x)＝cos2x－sin2x. 答案： B 3．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝_____. 解析： f(x)＝4x2＋4ax＋a2， ∵f′(x)＝8x＋4a， ∴f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1. 答案： 1 (3)方法一：∵y＝(4x－x)(ex＋1)＝4xex＋4x－xex－x， ∴y′＝(4xex＋4x－xex－x)′＝(4x)′ex＋4x(ex)′＋(4x)′－[x′ex＋x(ex)′]－x′＝ex4xln 4＋4xex＋4xln 4－ex－xex－1＝ex(4xln 4＋4x－1－x)＋4xln 4－1. 方法二：y′＝(4x－x)′(ex＋1)＋(4x－x)(ex＋1)′＝(4xln 4－1)·(ex＋1)＋(4x－x)ex＝ex(4xln 4＋4x－1－x)＋4xln 4－1. 合作探究 课堂互动 导数运算法则的应用 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． 解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，如综合了和、差、积、商几种运算的函数，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量． 解析： (1)y′＝(x2)′·ex＋x2·(ex)′ ＝2x·ex＋x2·ex ＝(2x＋x2)·ex. (2)令u＝2x，y＝cos u， 则yx′＝yu′·ux′＝(cos u)′·(2x)′ ＝－2sin 2x. 复合函数的导数 写出下列各函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则，求出函数的导数． (2)引入中间变量u＝φ(x)＝2 008x＋8， 则函数y＝cos(2 008x＋8)是由函数f(u)＝cos u与u＝φ(x)＝2 008x＋8复合而成的，查导数公式表可得 f′(u)＝－sin u，φ′(x)＝2 008. 根据复合函数求导法则可得 [cos(2 008x＋8)]′＝f′(u)φ′(x)＝(－sin u)·2 008 ＝－2 008sin u＝－2 008sin( 2 008x＋8)． (3)引入中间变量u＝φ(x)＝1－3x， 则函数y＝21－3x是由函数f(u)＝2u与u＝φ(x)＝1－3x复合而成的， 查导数公式表得f′(u)＝2uln 2，φ′(x)＝－3， 根据复合函数求导法则可得 (21－3x)′＝f′(u)φ′(x)＝2uln 2·(－3)＝－3×2uln 2 ＝－3×21－3xln 2. 复 ... ...
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