6.2平面向量的运算第三课时-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（含答案）

第六章 平面向量及其应用 6.2平面向量的运算 第3课时向量的数量积 【课程标准】 理解平面向量的数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积。 通过几何直观，理解平面向量投影的概念及其投影向量的意义。 会用向量的数量积判定两个向量的垂直关系，以及解决夹角、模的问题 【知识要点归纳】 1．两向量的夹角 4514215128270(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作false＝a，false＝b，则∠AOB＝false(0≤false≤π)叫做向量a与b的夹角． (2)特例：①当false＝0时，向量a与b同向； ②当false＝false时，向量a与b垂直，记作a⊥b； ③当false＝false时，向量a与b反向． 2．向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|false叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|false. 规定零向量与任一向量的数量积为0． 注意： (1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定． (2)两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b的形式． 3．投影向量 如图(1)，设a，b是两个非零向量，false＝a，false＝b，我们考虑如下变换：过false的起点A和终点B，分别作false所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到false，我们称上述变换为向量a向向量b投影(project)，false叫做向量a在向量b上的投影向量． 4609465-159385 right0如图(2)，在平面内任取一点O，作false＝a，false＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则false就是向量a在向量b上的投影向量． (2)若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则＝|a|false e. 4．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b?a·b＝0． (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a. (4)|a·b|≤|a||b|. 注意： 对于性质(2)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个非零向量垂直，只需判定它们的数量积为0即可；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直． 5．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 注意： (1)向量的数量积不满足消去律；若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b. (2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立． (3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 【经典例题】 例题1 .　(1)已知单位向量e1，e2的夹角为false，a＝2e1－e2，则a在e1上的投影是_____． (2)已知向量a与b满足|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°.求： ①(a＋b)·(a－b)；②(2a＋b)·(a－b)． 【答案】(1)32　(2) ①91. ②206. 例题2．(1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝_____. (2)已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝10，求|b|. （3）．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，则|a＋b|＝_____，|3a－4b|＝_____． 【答案】(1)23　 (2)2 例题3.(1)已知|a|＝6，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a与b的夹角为_____； (2)(2019·高考全国卷Ⅰ改编)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为_____． 例题4.(1)已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为(　　) A．－32 B．32 C．±32 D．1 (2)已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为false，则实数λ＝_____． 【当堂检测】 一．选择题（共4小题） 1．若false，fal ... ...