第10讲 双曲线的方程和性质 [玩前必备] 1．双曲线的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a?(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线?.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． ?当|PF1|－|PF2|＝2a2a＜|F1F2|时，点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支.,当|PF1|－|PF2|＝－2a2a＜|F1F2|时，点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支. ?若2a＝2c，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞2c，则轨迹不存在；若2a＝0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线. 2.双曲线的标准方程 (1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)． (2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)． 在双曲线的标准方程中，看x2项与y2项的系数的正负，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”. 3．双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R 对称性 对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝＝ ∈(1，＋∞) e是表示双曲线开 口大小的一个量， e越大开口越大. 渐近线 y＝±x y＝±x a，b，c的关系 a2＝c2－b2 [常用结论] 1．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径． 2．与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)． 3．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 4．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. [玩转典例] 题型一 双曲线的定义 例1 （2020·山东青岛二中高二月考）平面内，一个动点，两个定点，，若为大于零的常数，则动点的轨迹为（ ） A．双曲线 B．射线 C．线段 D．双曲线的一支或射线 例2 （2020·四川内江）一动圆与两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 例3 （2020·安徽贵池。池州一中高二期末（理））方程表示双曲线的充分不必要条件是（ ） A． 或 B． C． D． 或 例4 已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为_____． [玩转跟踪] 1．已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC内切圆的圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程是( ) A.－＝1(x＞2) B.－＝1(y＞2) C.－＝1 D.－＝1 2．（2020·浙江瓯海.温州中学高二期末）双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，若，则（ ） A． B． C．或 D． 3.若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 题型二 焦点三角形问题 例5 （1）（2020·江西高二期末（文））已知双曲线，直线l过其左焦点，交双曲线左支于A、B两点，且，为双曲线的右焦点，的周长为20，则m的值为 （ ） A．8 B．9 C．16 D．20 (2)（2020·四川南充.高二期末（理））设分别是双曲线的两个焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于 A． B． C． D． 例6 （2020·吉林松原）已知点是双曲线上一点，，分别为双曲线的左?右焦点，若的外接圆半径为4，且为锐角，则（ ） A．15 B．16 C．18 D．20 [玩转跟踪] 1．（2020·宁夏兴庆.银川九中）已知是双曲线的两个焦点，点为该双曲线上一点，若，且，则（ ） A．1 B． C． D．3 2．（2020·武威第八中学高二期末（理））已知双曲线:的左右焦点分别为,为的右支上一点,且,则的面积等于 A． B． C． D． 3.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P ... ...
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