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课件网) 3.3垂径定理 数学北师大版九年级下 上21世纪教育网 下精品教学资源 知识回顾 2.它的对称轴是什么? 是 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线 3.你能找到多少条对称轴？ 它有无数条对称轴. ●O 1.圆是轴对称图形吗？ 上21世纪教育网 下精品教学资源 新知讲解 ●O A B C D M└ 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。 （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由。 上21世纪教育网 下精品教学资源 新知讲解 连接OA,OB,则OA=OB. ●O A B C D └ 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合, 理 由： M ⌒ ⌒ AC和 BC重合， ⌒ AD 和BD重合 ⌒ ⌒ ⌒ AC= BC ⌒ ⌒ AD= BD 上21世纪教育网 下精品教学资源 新知讲解 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 题设 结论 （1）过圆心 （2）垂直于弦 ｝ ｛ （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 (2) (1) (3) (4) (5) 上21世纪教育网 下精品教学资源 新知讲解 ●O A B C D M└ CD⊥AB, ∵ CD是直径, ∴AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD. 几何语言 垂径定理 上21世纪教育网 下精品教学资源 新知讲解 判断下列图形，能否使用垂径定理？ O C D B A 注意：定理中的两个条件缺一不可———直径（半径），垂直于弦 × × √ B O C D A O C D E 上21世纪教育网 下精品教学资源 新知讲解 ③CD⊥AB, 垂径定理的逆定理 ●O C D 由 ① CD是直径 ② AM=BM 可推得 ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ● M A B 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M. （1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由. 上21世纪教育网 下精品教学资源 新知讲解 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？ 想一想 O C D B A 垂径定理的逆定理： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 不成立 “知二推三” (1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧 注意:当具备了(1)(3)时,应对另一 条弦增加”不是直径”的限制. 温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,几种条件要相互转化,形成整体,才能运用自如. 21cnjy 新知讲解 21cnjy 新知讲解 上21世纪教育网 下精品教学资源 新课讲解 E O D C F 1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中CD,点0是CD所在圆的圆心），其中CD=600m，E为CD上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径。 ⌒ ⌒ ⌒ 上21世纪教育网 下精品教学资源 新课讲解 解这个方程，得R=545. E O D C F 解：连接OC，设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m。 ∵OE⊥CD 根据勾股定理，得 OC?=CF? +OF? 即 R?=300?+(R-90)?. 所以，这段弯路的半径为545m. 上21世纪教育网 下精品教学资源 课堂练习 2.如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已知CD = 20，CM = 4，求AB. └ 上21世纪教育网 下精品教学资源 课堂练习 解：连接OA， 在⊙O中，直径CD⊥AB， ∴ AB =2AM， △OMA是直角三角形. ∵ CD = 20， ∴ AO = CO = 10. ∴ OM = OC – CM = 10 – 4 = 6. 在Rt △OMA中，AO = 10，OM = 6， 根据勾股定理，得： ∴ AB = 2AM = 2 × 8 = 16. └ 在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形 ... ...
