4.1.1 圆的标准方程 ●学习目标 1、知识与技能：（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。 （2）会用待定系数法求圆的标准方程。 2、过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。 3、情态与价值：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。 ●学习重点：圆的标准方程 ●学习难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。 一、自学导航 ●知识回顾：1、确定直线的条件： 。 2、平几学习中圆的定义： 。 ●预习教材：第118页———第121页的内容。 ●自主梳理：1、圆定义的点集表示： 。 2、圆的标准方程： 、圆心 、半径 。 ●预习检测： 1．圆的圆心和半径分别是（ ）. A．，1 B．，3 C．， D．， 2．过两点P(2,2),Q(4,2) 且圆心在直线上的圆的标准方程是（ ）. A． B. C. D. 3．已知圆，一束光线从点经轴反射到圆周的最短路程是（ ）. A. B. 8 C. D. 10 4．已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的标准方程为 . 5．以点为圆心，与直线相切的圆的方程是 . ●问题与困惑： 二、互动探究 ●情境引入： 在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ ●问题探究： 确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0） 设M(x,y)为这个圆上任意一点， 那么点M满足的条件是：（写出点的集合） 。 由两点间的距离公式写出点M适合的条件： （坐标化条件） ① 化简可得： ② 证明： 为圆的方程， 结论：方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。 ●典例导析： 例1 写出圆心为半径长等于5的圆的方程，并判断点是否在这个圆上。 分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。 探究：点与圆的关系的判断方法： （1）>，点在圆外 （2）=，点在圆上 （3）<，点在圆内 变式： 求经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x-y-3=0上圆方程. 例2 的三个顶点的坐标是求它的外接圆的方程 分析：从圆的标准方程 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定三个参数. 变式： 求与x轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长等于的圆的方程. 例3 已知圆心为的圆经过点和,且圆心在上,求圆心为的圆的标准方程. 分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为的圆经过点和,由于圆心与A,B两点的距离相等，所以圆心在险段AB的垂直平分线m上，又圆心在直线上，因此圆心是直线与直线m的交点，半径长等于或。 总结归纳：比较例2、例3可得出外接圆的标准方程的两种求法： ①根据题设条件，列出关于的方程组，解方程组得到得值，写出圆的标准方程. ②根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 变式：设A（－c，0），B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹. ●课堂练习：课本第1、2、3、4题 ●反思总结： ⑴这节课你学到了哪些知识和解题技能？ ⑵这节课你学到了哪些数学思想方法？ ⑶你还有哪些收获？ 三、巩固拓展 ●必做：教材第124页， 习题4.1 A组 2、5、6题； 教材第144页 复习参考题 A组1、2； B组 1、2、5题 ●选作： 1、 点与圆的位置关系是（ ） Ａ．在圆外 Ｂ．在圆内 Ｃ．在圆上 Ｄ．不确定 2、 已知动点到定点的距离等于到的距离的倍，那么点的轨 ... ...
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