选择性必修第一册数学人教A版1.2空间向量基本定理教案

1.2 空间向量基本定理 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节课主要学习空间向量基本定理。 空间向量基本定理也成为空间向量分解定理，它与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中多了一“项”.证明的思路、步骤也基本相同．空间向量基本定理的推论意在用分解定理确定点的位置，它对于今后用向量方法解几何问题很有用，也为今后学习空间向量的直角坐标运算作准备． 课程目标 学科素养 A.掌握空间向量基本定理. B.了解空间向量正交分解的含义. C.会用空间向量基本定理解决有关问题. 1.数学抽象：空间向量基本定理的证明 2.逻辑推理：运用空间向量基本定理解决空间平行与垂直的证明； 3.直观想象：空间向量基本定理在立体几何的运用； 4.数学运算：运用基底思想和向量运算解决立体几何问题； 1.教学重点：理解空间向量基本定理及其证明. 2.教学难点：运用空间向量基本定理解决有关问题. 多媒体 教学过程 教学设计意图 核心素养目标 一、情境导学 我们所在的教室即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的,那么用这三个向量表示空间中任意的向量呢？ 二、探究新知 知道平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示(平面向量基本定理)，类似的任意一个空间的向量，能否用任意三个不共面的向量来表示呢？ 因此，如果是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量p存在唯一有序实数组（x,y,z），使得p= xi+ 。我们称 xi, 分别为向量p在上的分向量。 探究 如图1.2-1， 设是空间中三个两两垂直的向量，且表示他们的有向线段有公共起点o，对于任意一个空间向量设为在所确定的平面上的投影向量，则=+,又向量，共线，因此存在唯一实数z，使得，从而=+ ，而在所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x,y），使得=xi+ .从而，=+ = xi+ . 空间向量基本定理 1.定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z), 使得p=xa+yb+zc. 2.基底:我们把定理中的叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.空间任意三个不共 面的向量都可以构成空间的一个基底. 3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用表示. 由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk, 使a=xi+yj+zk,像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解. 定理辨析 1.空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同. 2.一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念. 3.由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个不共线的非零向量共面,所以若三个向量不共面,就说明它们都不是零向量. 做一做 1.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)空间向量的基底是唯一的.(　　) (2)若a,b,c是空间向量的一个基底,则a,b,c均为非零向量.(　　) (3)已知A,B,M,N是空间四点,若, , 不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面.(　　) (4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.(　　) 答案: (1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案: C　 解析:如图所示,令a=,b=,c=,则x=,y=,z=,a+b ... ...