人教B版（2019）高中数学 选择性必修第一册 1.2.2　空间中的平面与空间向量（课件+学案）

第2课时　三垂线定理及其逆定理 学习目标　1.了解三垂线定理及其逆定理.2.会用三垂线定理及其逆定理解决简单的问题． 一、三垂线定理 问题1　过平面外一点，能做几条直线与平面垂直？ 提示　有且只有一条；如图，P是平面α外一点，PO⊥α，O是垂足，A是异于垂足O的任意一点，则PA是平面α的一条斜线，A是斜足，则直线OA是斜线PA在平面α内的射影，若平面α内的一条直线a⊥OA，由线面垂直的判定定理可知，a⊥平面POA，故a⊥PA. 知识梳理 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直． 注意点：(1)三垂线定理描述的是斜线PA，射影OA和直线a之间的垂直关系；(2)直线a可以移动，但只能在平面内移动．因此，直线a和斜线PA可以相交也可以异面；(3)三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理． 例1　如图，已知P是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求证：PC⊥BC. 证明　因为PA⊥平面ABC， 所以PC是平面ABC的斜线， 所以AC是PC在平面ABC上的射影， 因为BC?平面ABC且AC⊥BC， 所以由三垂线定理得PC⊥BC. 反思感悟　三垂线定理的实质是空间内的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理，关于三垂线定理的应用，关键是找出平面的垂线，至于射影，则是由垂足、斜足来确定的；利用三垂线定理证明两直线a⊥b的步骤：一垂，二射，三证．即第一找平面及平面垂线，第二找射影线，这时a，b便成平面上的一条直线与一条斜线，第三证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直． 跟踪训练1　如图，已知PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：PO⊥BD，PC⊥BD. 证明　∵PA⊥正方形ABCD所在平面， 则PC，PO在平面ABCD内的射影为AC，AO， 又AC⊥BD，AO⊥BD，由三垂线定理得，PO⊥BD，PC⊥BD. 二、三垂线定理的逆定理 问题2　如图，如果将三垂线定理中的“a⊥OA”，改为“a⊥PA”，你能得到什么样的结论？ 提示　a⊥OA，这其实利用的还是线面垂直的判定定理． 知识梳理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 例2　已知α∩β＝AB，PQ⊥α于Q，PO⊥β于O，OR⊥α于点R，求证QR⊥AB. 证明　如图． ∵PQ⊥α于Q，OR⊥α于点R， ∴PO在平面α内的射影为QR， 又PO⊥β于点O，α∩β＝AB，∴PO⊥AB， ∴由三垂线定理的逆定理知，AB⊥QR. 反思感悟　三垂线定理的逆定理的实质是空间内一条斜线的射影与平面内一条直线垂直的判定定理，其应用关键是找出平面的垂线；证明步骤：第一找平面与平面的垂线，第二找该射影线是哪条斜线的射影，第三证明平面内的直线与斜线垂直，从而得出平面内的直线与射影垂直. 跟踪训练2　如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥CD，四边形ABCD是平行四边形，且△PAD为等边三角形．求证：四边形ABCD是矩形． 证明　平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形， 故点P在平面ABCD内的射影为AD中点O， 所以PO⊥平面ABCD， 直线OA为直线PA在平面ABCD内的射影， 又PA⊥CD，由三垂线定理的逆定理可知AD⊥CD， 又因为四边形ABCD是平行四边形， 所以四边形ABCD是矩形． 三、三垂线定理、逆定理的综合应用 例3　如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD. 证明　如图，取BC的中点O，连接AO交BD于点E，连接PO. 因为PB＝PC，所以PO⊥BC. 又平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，PO?平面PBC， 所以PO⊥平面ABCD，所以AP在平面ABCD内的射影为AO. 在直角梯形ABCD中，由于AB＝BC＝2CD，易知Rt△ABO≌Rt△BCD， 所以∠BEO＝∠OAB＋∠DBA＝∠DBC＋∠DBA＝90°，即AO⊥BD. 由三垂线定理，得PA⊥BD. 反思感悟　利用三垂线定理 ... ...