§2.7 抛物线及其方程 2.7.1 抛物线的标准方程 学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程的问题． 导语 同学们，数学家华罗庚曾经说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生活之谜，日月之繁，无处不用数学”，比如足球射门时那条美丽的弧线，天空中那一道道美丽的彩虹，广场上那五彩斑斓的喷泉，运动场上那些跳跃运动，哪怕是一个小朋友轻轻投掷一块石子，都会产生一道与众不同的弧线，所以我们说生活中充满了数学，数学就在我们周围． 一、抛物线的定义 问题1 同学们对抛物线有了哪些认识？ 提示 在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图像． 问题2 在二次函数中研究抛物线有什么特征？ 提示 它的对称轴垂直于x轴，开口向上或向下．但如果其对称轴不垂直于x轴，那就不能作为二次函数图像来研究了，如今，我们要突破这个限制，从更一般的意义上来研究抛物线． 如图所示，在画板上画一条直线l，使l与画板左侧的边线平行；再在直线l外画一个定点F.取一个丁字尺靠紧画板左侧外沿，丁字尺和直线l垂直且相交于点P，在丁字尺的另一端取一点Q，将一条长度等于|PQ|的细绳，一端固定在点Q，另一端固定在点F，用笔尖靠着丁字尺边缘并扣紧细绳，然后上下平移丁字尺，笔尖作出的曲线是抛物线的一部分． 知识梳理 一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线． 注意点： (1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)． (2)若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线． 例1 在平面内，到直线x＝－2与到定点P(2,0)的距离相等的点的轨迹是( ) A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．直线 答案 A 解析 动点到定点P(2,0)的距离与到定直线l：x＝－2的距离相等，所以点的轨迹是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线． 反思感悟 理解抛物线的定义是解决问题的关键，要抓住平面内的点到定点与到定直线的距离相等这一重要特征，但要注意的是定点不在定直线上． 跟踪训练1 在平面内，“点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 B 解析 若点P的轨迹为抛物线，则点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离，但若点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离，且该定点在该定直线上，则点P的轨迹就不是抛物线，故应为必要不充分条件． 二、求抛物线的标准方程 问题3 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？ 提示 我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy.设|KF|＝p(p>0)，那么焦点F的坐标为，准线l的方程为x＝－. 设M(x，y)是抛物线上任意一点， 则M到F的距离为|MF|＝，M到直线l的距离为， 所以＝， 将上式两边平方并化简，得y2＝2px(p>0)． 知识梳理 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ 注意点： (1)p的几何意义是焦点到准线的距离． (2)标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上． (3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的系数及其符号． 例2 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程． (1)经过点( ... ...
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