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课件网) 第二章 平面解析几何 §2.8 直线与圆锥曲线的位置关系(一) 学习目标 1.会用代数法判断直线与圆锥曲线的位置关系. 2.能解决和弦的中点有关的简单问题. 随堂演练 课时对点练 一、直线与椭圆的交点问题 二、直线与双曲线的交点问题 三、直线与抛物线的交点问题 内容索引 四、中点弦问题 一、直线与椭圆的交点问题 ? 方程特征 交点个数 位置关系 直线与椭圆 a≠0，Δ>0 __ _____ a≠0，Δ＝0 __ _____ a≠0，Δ<0 __ _____ 知识梳理 联立直线方程与椭圆方程，消去y得ax2＋bx＋c＝0，则直线与椭圆的位置关系如下 2 1 0 相交 相切 相离 注意点：设直线时，要注意斜率不存在的情况. 例1 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C： ＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不同的公共点； 解 直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③ 关于x的一元二次方程的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. ① ② 可知原方程组有两组不同的实数解. 这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点. (2)有且只有一个公共点； 方程③有两个相同的实数根， 可知原方程组有两组相同的实数解. 这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点， 即直线l与椭圆C有且只有一个公共点. (3)没有公共点？ 方程③没有实数根， 可知原方程组没有实数解. 这时直线l与椭圆C没有公共点. 反思感悟 直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，将求最小距离问题转化为直线与椭圆的相切问题.此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用. 跟踪训练1 已知椭圆 ＝1，直线l：x＋my－m＝0(m∈R)，则直线l与椭圆的位置关系是 A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定 √ 解析 由题意知，l：x＋my－m＝0(m∈R)恒过点(0,1)， 所以点(0,1)在椭圆内部，所以直线l与椭圆相交. 二、直线与双曲线的交点问题 知识梳理 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式. (1)Δ>0时，直线与双曲线有 不同的公共点. (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有 公共点. (3)Δ<0时，直线与双曲线 公共点. 当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有 公共点. 注意点： 直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支. 两个 一个 一个 没有 例2 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围. 消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.( ) 当1－k2≠0，即k≠±1时， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2). 此时方程( )有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点. 延伸探究 若直线l与双曲线有且只有一个公共点，确定满足条件的实数k的取值范围. 得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.( ) 当1－k2≠0，即k≠±1时， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2). 此时方程( )有两个相同的实数解， 即直线l与双曲线有且只有一个公共点； 当1－k2＝0，即k＝±1时， 直线l与双曲线的渐近线平行， 方程( )化为2x＝5， 故方程( )只有一个实数解，即直线l与双曲线相交， 有且只有一个公共点. 直线l与双曲线有且只有一个公共点. 反思感悟 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况. (2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行. (3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论. 跟踪训练2 已知双曲线x2－ ＝1，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点， ... ...
