第3课时 直线的一般式方程 学习目标 1.理解直线的一般式方程的特点，以及与其它方程形式的区别与联系.2.掌握直线的一般式方程与其它形式之间的相互转化，进一步掌握求直线方程的方法． 导语 同学们，前面我们学习了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，我们知道每一种形式都有它的适用范围，而且发现它们都是二元一次方程，我们今天要研究的是能否用统一的一个方程来表示上述四种形式． 一、直线的一般式方程 问题1 直线y＝2x＋1可以化成二元一次方程吗？方程2x－y＋3＝0表示一条直线吗？ 提示 y＝2x＋1可以化成2x－y＋1＝0的形式，可以化为二元一次方程.2x－y＋3＝0可以化为y＝2x＋3，可以表示直线． 知识梳理 1．直线的一般式方程 关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0)表示直线的方程．我们把Ax＋By＋C＝0称为直线的一般式方程． (1)A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0. (2)直线的一般式方程能表示所有的直线方程，在求直线方程时，最后结果一般都化成一般式方程． 2．直线方程五种形式的比较 名称 已知条件 标准方程 适用范围 点斜式 点P1(x1，y1)和斜率k y－y1＝k(x－x1) 不垂直于x轴的直线 斜截式 斜率k和在y轴上的截距b y＝kx＋b 不垂直于x轴的直线 两点式 点P1(x1，y1)和点P2(x2，y2) ＝ 不垂直于x，y轴的直线 截距式 在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且截距不为零 ＋＝1 不垂直于x，y轴的直线，不过原点的直线 一般式 两个独立的条件 Ax＋By＋C＝0 A，B不全为零 注意点：(1)直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． ④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程． (2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质： ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点A(5,3)； (2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点B(4,2)，且平行于x轴． 解 (1)由点斜式，得直线方程为y－3＝(x－5)， 即x－y－5＋3＝0. (2)由两点式，得直线方程为＝， 即2x＋y－3＝0. (3)由截距式，得直线方程为＋＝1， 即x＋3y＋3＝0. (4)y－2＝0. 反思感悟 求直线一般式方程的策略 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式． 跟踪训练1 根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式： (1)斜率是－，且经过点A(8，－6)； (2)在x轴和y轴上的截距分别是和－3； (3)经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)． 解 (1)由点斜式，得直线方程为y＋6＝－(x－8)， 即x＋2y＋4＝0. (2)由截距式，得直线方程为＋＝1， 即2x－y－3＝0. (3)由两点式，得直线方程为＝， 即x＋y－1＝0. 二、直线的法向量与一般式方程的关系 问题2 如何用直线的一般式的系数表示直线的方向向量和法向量？ 提示 对于Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，当B≠0时，直线的斜率为k＝－，故为直线的一个方向向量，一般地，(B，－A)是任意直线的方向向量，由直线的法向量与直线方向向量的垂直关系，可知(A，B)是直线的一个法向量． 知识梳理 a＝(B，－A)为直线Ax＋By＋C＝0的一个方向向量． v＝(A，B)为直线Ax＋By＋C＝0的一个法向量． 例2 ... ...
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