考点06 导数及其应用 1．（2021·全国高考真题（文））设函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若的图像与轴没有公共点，求a的取值范围. 【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）. 【分析】 （1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性. （2）根据及（1）的单调性性可得，从而可求a的取值范围. 【详解】 （1）函数的定义域为， 又， 因为，故， 当时，；当时，； 所以的减区间为，增区间为. （2）因为且的图与轴没有公共点， 所以的图象在轴的上方， 由（1）中函数的单调性可得， 故即. 【点睛】 方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化. 导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率，其物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度。 函数的极大值不一定大于极小值。 在给定的一个区间上函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点。 1．函数的平均变化率为 注1：其中是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数在处的瞬时变化率是，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度； 5、常见的函数导数 函数 导函数 0 6、常见的导数和定积分运算公式:若，均可导（可积），则有： 和差的导数运算 积的导数运算 特别地： 商的导数运算 特别地： 复合函数的导数 微积分基本定理 （其中） 和差的积分运算 特别地： 积分的区间可加性 7.用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数 ②令>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； 8.求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数 (3)求方程=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值 9.利用导数求函数的最值的步骤:求在上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求在上的极值； ⑵将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点； 1．（2021·河南高三其他模拟（文））函数在上的最小值为（ ） A． B．-1 C．0 D． 2．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三月考（文））曲线在处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 3．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（文））已知函数的图象与x轴有三个交点，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（2021·全国高三月考（文））已知函数是函数的导函数，对任意，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 5．（2021·福建高三三模）已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 6．（2021·四川遂宁市·高三三模（文））已知函数，其中，当时，；又函数在上单调递增，则实数的最大值是（ ） A．2 B． C．1 D． 7．（2021·全国高三其他模拟）已知函数f（x）＝﹣ex，则下列说法正确的是（ ） A．f（x）无极大值，也无极小值 B．f（x）有极大值，也有极小值 C．f（x）有极大值，无极小值 D．f（x）无极小值，有极大值 8．（2021·四川德阳市·高三二模（文））已知函数，若，，且在上恰有一个最大值点，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．（2021·新安县第一高级中学高三其他模拟（文））当时，恒成立则实 ... ...
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