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课件网) 2.3.2 两点间的距离公式 人教A版（2019） 选择性必修第一册 新知导入 在日常的生产生活中，存在着大量的关于两点间距离的问题，宏观上，求天体中两颗星球间的距离；微观上，求分子间距，中观上，求两个城市间的距离等。关于两点间距离的求法，有很多方法，其中包括物理学方法，化学方法，等等，但不管是那种方法，都离不开数学计算。 在数学领域计算两点间的距离，方法也有很多，常用的距离度量方法有欧氏距离、马氏距离、曼哈顿距离、闵可夫斯基距离、汉明距离、切比雪夫距离等。 那么，在平面解析几何中如何求两点间的距离呢？ 新知讲解 探究 如图 已知平面内两点 ， 如何求 间的距离 ？ 用平面向量的知识来解决. 如图 由点 ，得 . 于是， 新知讲解 由此得到两点间的距离公式 特别地，原点O（0，0）与任意一点P（x, y）间的距离 当平行与x轴时， 当平行与y轴时， 合作探究 思考: 平面内两点间的距离公式与坐标顺序是否有关？ 提示： 无关. 在计算公式中， ， 的位置可以互换，不影响计算结果. 思考: 你能利用 构造直角三角形，再用勾股定理推导两点间距离公式吗？ 与向量法比较，你有什么体会？ 合作探究 提示： 如图 从点 分别向y 轴和 x 轴作垂线和， 垂足分别为 和 , 直线 与 相交于点Q . 在直角△ 中， . 过点向x轴作垂线，垂足为； 过点向y轴作垂线，垂足为 . 于是有 所以， 所以，点 间的距离公式为： 课堂练习 例3 已知点A（-1，2），B（2，），在 x 轴上求一点P，使，并求的值. 解： 设所求点为P（x ,0）,则 由 ，得 |PB|= = 解得 x=1 所以，所求点为P（1，0）且 课堂练习 例4 用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍. 分析： 首先要建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量， 然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系. 课堂练习 例4 用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍. 证明： 如图 四边形ABCD是平行四边形. 以顶点A为原点， 边AB所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 在□ ABCD中，点A的坐标是（0，0），设点B的坐标为,点D的坐标为（b, c）， 由平行四边形的性质，得点C的坐标为 . 由两点间的距离公式，得 ， 所以， 所以， 即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍. 课堂总结 上述利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤可以概括为： 第一步：建立坐标系，利用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关代数运算； 第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 合作探究 思考 在“平面向量及其应用”的学习中，我们用“向量法”证明过这个命题，你能回忆一下证明过程吗？ 合作探究 “向量法”提示： 分析： 平行四边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条邻边对应的两个 向量的和与差，我们可以通过向量运算来探索它们的模之间的关系. 解： 第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；如图 取 为基底，设 , 则 第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系： 上面两式相加，得 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系： 课堂练习 1 求下列两点间的距离： (1) A(6,0), B(-2,0); (2) C (0,-4), D(0,-1) (3) P(6,0), Q(0,-2) (4) M(2,1), N(5,-1) 答案： (1) 8 (2) 3 (3) (4) 课堂练习 2 已知点A(1,1)，B(5,3)，C(0,3)，求证：△ABC为直角三角形． 证明： 法一： ∵|AB|＝， |AC|＝ 又 |BC|＝ =5 ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， ∴△ABC为直角三角形. 法二： ∵kAB＝＝，kAC＝＝－2， ∴kAB·kAC＝－1， ∴AB⊥AC， ∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形． 课堂练习 3 光 ... ...
