第二讲 概率-2020-2021学年高一数学暑假课程复习讲义（教师版 学生版）

第二讲 概率 【知识点一】概率和频率 (1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率． (2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)． 【知识点二】事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 若事件A发生，事件B一定发生，则称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B?A(或A?B) 相等关系 若B?A且A?B，则称事件A与事件B相等 A＝B 并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 互斥事件 A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝? 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝?且P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1 【知识点三】概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (5)对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)． 【知识点四】古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型： (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； (2)每个基本事件出现的可能性相等． 【知识点五】古典概型的概率公式 P(A)＝. 【知识点六】概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0. 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 性质5　如果A?B，那么P(A)≤P(B). 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 【知识点七】　相互独立事件 概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立. 性质：如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立. 题型一 随机事件 1．下列现象中，是随机现象的有（ ） ①在一条公路上，交警记录某一小时通过汽车超过300辆. ②若a为实数，则|a+1|≥0. ③发射一颗炮弹，命中目标. ④检查流水线上一件产品，这件产品是次品. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】 根据随机现象和必然现象的定义判断得解. 【详解】 当a为实数时，|a+1|≥0恒成立，是必然现象，其余3个均为随机现象. 所以是随机现象的有3个. 故选：C 2．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件的是(　　) A．恰好有1件次品和恰好有2件次品 B．至少有1件次品和全是次品 C．至少有1件正品和至少有1件次品 D．至少有1件次品和全是正品 【答案】A 【详解】依据互斥和对立事件的定义知，B，C都不是互斥事件；D不但是互斥事件而且是对立事件；只有A是互斥事件但不是对立事件． 3.(多选)袋中装有形状完全相同的个白球和个黑球，从中一次摸出个球，下列事件是互斥事件的是（ ） A．摸出三个白球事件和摸出三个黑球事件 B．恰好有一黑球事件和都是黑球事件 C．至少一个黑球事件和至多一个白球事件 D．至少一个黑球事件和全是白球事件 【答案】ABD 【分析】根据互斥事件的定义可判断各选项的正误，从而可得正确的选项. 【详解】对于A，摸出三个白球事件和摸出三个黑球事件不可能同时发生，故它们为互斥事件，故A正确. 对于B，恰好有一黑球事件和都是黑球事 ... ...