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课件网) 1.2 空间两点间的距离公式 第三章 §1 空间直角坐标系 1.了解推导空间两点间的距离公式的过程. 2.会应用空间两点间的距离公式，求空间中两点间的距离. 学习目标 距离是几何中的基本度量，在平面解析几何中，已知P1(x1，y1)，P2(x2， y2)，线段P1P2的长度为 ，那么在空间直角坐标系中，若P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，线段P1P2的长度与其坐标又有怎样的关系呢？ 导语 随堂演练 课时对点练 一、空间两点间的距离公式 二、求空间点的坐标 三、空间两点间距离公式的综合应用 内容索引 一、空间两点间的距离公式 问题1 在空间直角坐标系中，点O(0,0,0)到点P(x0，y0，z0)的距离怎么求？ 提示 如图， |OA|＝|x0|，|OB|＝|y0|， |OC|＝|z0|， 问题2 空间任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离怎么求？ 提示 作长方体使A，B为其体对角线的顶点，长方体的棱都平行于坐标轴， 由已知得，C(x2，y1，z1)，D(x2，y2，z1)， |AC|＝|x1－x2|，|CD|＝|y1－y2|， |DB|＝|z1－z2|， 知识梳理 已知空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点，则P，Q两点间的距离|PQ| ＝_____. 注意点： (1)公式特征：同名坐标差的平方和的算术平方根. (2)在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离|OP|＝_____. (3)x2＋y2＋z2＝1表示以原点为球心，半径为1的球的方程. 例1 如图，正方体OABC－D′A′B′C′的棱长为a，|AN|＝2|CN|，|BM|＝2|MC′|.求|MN|的长. 解 建立如图所示的空间直角坐标系， 过点M作MF垂直于BC于点F，连接NF， 显然MF垂直于平面ABCO， 所以MF⊥NF， 因为|BM|＝2|MC′|， 所以|BF|＝2|FC|， 又|AN|＝2|CN|， 所以NF∥AB， 反思感悟 在具体的立体几何图形中，需结合图形的特征，建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式求解. 跟踪训练1 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度. 解 以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2， ∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)， 由中点坐标公式可得，D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)， 二、求空间点的坐标 例2 设点P在x轴上，它到P1 的距离是到点P2(0,1，－1)的距离 的2倍，求点P的坐标. 解 因为P在x轴上， 所以设P点坐标为(x,0,0)， 因为|PP1|＝2|PP2|， 所以x＝±1， 所以点P坐标为(1,0,0)或(－1,0,0). 反思感悟 由空间两点间距离求点的坐标的方法 (1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标. (2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解. 跟踪训练2 已知点P1，P2的坐标分别为(3,1，－1)，(2，－2，－3)，分别在x，y，z轴上取点A，B，C，使它们与P1，P2两点距离相等，求A，B，C的坐标. 解 设A(x,0,0)，B(0，y,0)，C(0,0，z)， 由|AP1|＝|AP2|， 所以x＝－3， 同理，由|BP1|＝|BP2|，得y＝－1， 三、空间两点间距离公式的综合应用 例3 已知正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝ (1)求|MN|的长； 解 ∵平面ABCD⊥平面ABEF， 平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE， ∴BE⊥平面ABCD， ∴AB，BC，BE两两垂直. 过点M作MG⊥AB，MH⊥BC， 垂足分别为G，H， 连接NG，易证NG⊥AB. ∵|CM|＝|BN|＝a， ∴以B为原点，以BA，BE，BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz， (2)当a为何值时，|MN|的长最小. 这时M，N恰好为AC，BF的中点. 反 ... ...
