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课件网) 4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系 第三章 §4 向量在立体几何中的应用 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面平行与 垂直的关系. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行与垂直的关系. 学习目标 观察图片，旗杆底部的平台和地面平行，旗杆所在的直线和护旗战士所在的直线平行.而且旗杆所在的直线和水平地面垂直，旗杆所在直线的方向向量和护旗战士所在直线的方向向量及水平地面的法向量有什么关系？ 导语 随堂演练 课时对点练 一、平行关系 二、垂直关系 三、平行与垂直的综合应用 内容索引 一、平行关系 问题1 设直线l，m的方向向量分别为l，m，平面α，平面β的法向量分别为n1，n2，若l∥m，l∥α，α∥β，那么其方向向量与法向量具有怎样的关系？ 提示 l∥m?l∥m， l∥α?l⊥n1， α∥β?n1∥n2. 问题2 能否用向量法证明平行关系？应注意什么？ 提示 可以. l∥m且l与m不重合?l∥m； l⊥n1，且l?α?l∥α； n1∥n2且α与β不重合?α∥β. 知识梳理 设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 l∥m或l与m重合?_____； l∥α或l?α?_____； α∥β或α与β重合?n1∥n2. l∥m l⊥n1 注意点： (1)利用空间向量证明线面平行一般有三种方法： 方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基表示. 方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证. 方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)若证面面平行，则证两平面的法向量平行. 例1 在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB. 证明 如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PD＝DC＝a. 连接AC，交BD于点G，连接EG， 方法一 设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)， 令z＝1，则x＝1，y＝－1， 所以n＝(1，－1,1)， 又PA?平面EDB，所以PA∥平面EDB. 方法二 因为四边形ABCD是正方形， 所以G是此正方形的中心， 又EG?平面EDB，且PA?平面EDB， 所以PA∥平面EDB. 所以PA∥平面EDB. 延伸探究 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝AB＝BC＝ ＝1.问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置，若不存在，请说明理由. 解 分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图. 则P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0). 假设在棱PD上存在符合题意的点E， ∴－y－2(z－1)＝0. ① ∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝2(y－1)＝0. ∴E是PD的中点， 即存在点E为PD的中点时，CE∥平面PAB. 反思感悟 利用向量法证明平行问题的两种途径 (1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系. (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明. 跟踪训练1 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点， 求证：平面ADE∥平面B1C1F. 证明 建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)， 设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的一个法向量， 令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2). 同理，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量. 令z2＝2，得y2＝－1， 所以n2＝(0，－1,2). 因为n1＝n2，即n1∥n2， 所以平面ADE∥平面B1C1F. 二、垂直关系 问题3 如图，根据直线、平面的位置关系，判断直线的方向向量、平面的法向量有什么关系？ 提示 l⊥m ... ...
