4.2 二项式系数的性质 学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数较小时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用.3.掌握“赋值法”并会灵活应用． 导语 被誉为“世界七大奇迹”之一的古埃及的金字塔，以其宏伟的气势、严密的结构、精美绝伦的整体外观让世界叹服．而数学上也有“金字塔”，这就是二项式(a＋b)n的展开式在n＝1,2，…时的二项式系数而垒成的金字塔，称为杨辉三角，它是我国南宋数学家杨辉首先发现的，比欧洲的帕斯卡整整早发现了500年左右． 一、杨辉三角 问题1 根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1,2,3,4,5,6)的二项式系数．可以写成如下形式，则第7行的数字分别是多少？ 提示 1,7,21,35,35,21,7,1 知识梳理 (1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等； (2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的和，即C＝C＋C. 例1 (1)在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是( ) A．第n－k项 B．第n－k－1项 C．第n－k＋1项 D．第n－k＋2项 答案 D 解析 第k项的二项式系数是C，由于C＝C，故第n－k＋2项的二项式系数与第k项的二项式系数相同． (2)观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是( ) A．8 B．6 C．4 D．2 答案 B 解析 由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，得a＝6. 反思感悟 解决与杨辉三角有关问题的一般思路 (1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察． (2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律． (3)将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解． 跟踪训练1 (1)在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则n为( ) A．4 B．6 C．8 D．10 答案 D 解析 由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等， ∴C＝C，由组合数的性质，得n＝10. (2)如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于( ) A．20 B．21 C．22 D．23 答案 C 解析 由a＝7，可知b左肩上的数为6，右肩上的数为11＋5，即16，所以b＝6＋16＝22. 二、二项式系数的增减性与最值 问题2 怎样找二项展开式中的二项式系数的最大值？ 提示 ＝. 当k<时，>1，说明二项式系数逐渐增大； 同理，当k>时，二项式系数逐渐减小． 知识梳理 (1)增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的；当k>时，二项式系数是逐渐减小的． (2)最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值． 注意点： (1)当n为偶数时，中间项的二项式系数最大，有一项； (2)当n为奇数时，中间项的二项式系数最大，有两项． 例2 已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中的二项式系数和为32.求展开式中二项式系数最大的项． 解 由题意得，2n＝32，解得n＝5. 由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T3＝＝90x6，T4＝. 反思感悟 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论． (1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大； (2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． 跟踪训练2 (1)(1－x)2n－1展开式中，二项式系数最大的项是( ) A．第n－1项 B．第n项 C．第n－1项与第n＋1项 D．第n项与第n＋1项 答案 D 解析 由二项式系数的性质得，二项式系数最大为＝C，＝C，分别为第n，n＋1项． (2)2n展开式的第6项系数最大，则其常数项为( ) A．120 B．252 C．210 D．45 答案 C 解析 由题意，得2n＝10，易知n＝5， 由Tk＋1＝C()10－kk＝， 令30－5k＝0，得k＝6，故其常数项为C＝210. 三、二项展开式的系数和问题 问题3 在二项展开式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Ca ... ...
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