第二课时 分段函数与映射 Q 某魔术师猜牌的表演过程是这样的，表演者手中持有六张扑克牌，不含王牌和牌号数相同的牌，让6位观众每人从他手里任意摸一张，并嘱咐摸牌时看清和记住自己的牌号，牌号数是这样规定的，A为1，J为11，Q为12，K为13，其余的以牌上的数字为准，然后，表演者让他们按如下的方法进行计算，将自己的牌号乘2加3后乘5，再减去25，把计算结果告诉表演者(要求数值绝对准确)，表演者便能立即准确地猜出谁拿的是什么牌，你能说出其中的道理吗？ X 1．分段函数 所谓分段函数，是指在定义域的不同部分，有不同的对应关系的函数． [知识点拨] 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 2．映射 (1)定义：一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有__唯一确定__的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合__A__到集合__B__的一个映射． [知识点拨] 满足下列条件的对应f：A→B为映射： (1)A，B为非空集合； (2)有对应法则f； (3)集合A中的每一个元素在集合B中均有唯一元素与之对应． (2)映射与函数的关系：函数是特殊的映射，即当两个集合A，B均为__非空数集__时，从A到B的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数，映射是函数的推广． [知识点拨] 函数新概念，记准三要素；定义域，值域，关系式相连；函数表示法，记住也不难；图象和列表，解析最常见；函数变映射，只是数集变；不再是数集，任何集不限． Y 1．下列对应不是映射的是( D ) [解析] 结合映射的定义可知A，B，C均满足M中任意一个数x，在N中有唯一确定的y与之对应，而D中元素1在N中有a，b两个元素与之对应，故不是映射． 2．函数y＝|x|的图象是( B ) [解析] 因为y＝|x|＝所以B选项正确． 3．(2019·江西宜丰中学高一期末测试)已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b是从A到B的映射，若1和8的原象分别是3和10，则5在f下的象是( A ) A．3 B．4 C．5 D．6 [解析] 由题意得， 解得. ∴y＝x－2，∴5在f下的象是5－2＝3. 4．已知集合A＝{a，b}，B＝{m，n}，则从集合A到集合B的映射的个数为__4__. [解析] 由题意可知，从集合A到集合B的映射如下， 共有4个映射． 5．(2019·江苏徐州高一期中测试)已知f(x)＝，则f[f(－3)]的值为__－3__. [解析] ∵f(x)＝， ∴f(－3)＝1， ∴f[f(－3)]＝f(1)＝－3. H 命题方向1 ?分段函数的求值问题 典例1 已知函数f(x)＝. (1)求f(－4)，f(3)，f[f(－2)]； (2)若f(a)＝10，求a的值． [思路分析] 分段函数的解析式?求函数值或已知函数值列方程求字母的值． [解析] (1)f(－4)＝－4＋2＝－2， f(3)＝2×3＝6，f(－2)＝－2＋2＝0， f[f(－2)]＝f(0)＝02＝0. (2)当a≤－1时，a＋2＝10，可得a＝8，不符合题意； 当－1
