专题05 函数 5.7对称性与周期性 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（原卷版+解析版）

专题四 《函数》讲义 5.7 对称性与周期性 知识梳理.对称性与周期性 1.轴对称： ①f(x)=f(-x)，关于x=0对称 ②f(a+x)=f(a-x)，关于x=a对称 ③f(a+x)=f(b-x)，关于x=对称 2.中心对称： ①f(x)-f(-x)=0，关于(0,0)对称 ②f(a+x)-f(a-x)=0，关于(a,0)对称 ③f(a+x)-f(a-x)=2b，关于(a,b)对称 3.周期性： ①f(x)=f(x+T)，最小正周期为T，有多个对称轴，有多个对称中心. ②f(x+a)=f(x+b)，T=lb-al ③f(x+a)=-f(x+b)，T=2lb-al ④f(x+a)=±，T=l2al 题型一. 轴对称 1．已知函数f（x）＝f（2﹣x），x∈R，当x∈[1，+∞）时，f（x）为增函数．设a＝f（1），b＝f（2），c＝f（﹣1），则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a 【解答】解：∵f（x）＝f（2﹣x）， ∴函数的图象关于x＝1对称， 当x∈[1，+∞）时，f（x）为增函数， ∴f（3）＞f（2）＞f（1）， a＝f（1），b＝f（2），c＝f（﹣1）＝f（3）， 则a＜b＜c． 故选：D． 2．定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x（3﹣2x），则f（）＝（　　） A．﹣1 B． C． D．1 【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），则有f（﹣x）＝f（x+2）， 又由f（x）为奇函数，则f（x+2）＝﹣f（x）， 则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数， 则f（）＝f（16）＝f（）＝﹣f（）＝﹣[（3﹣2）]＝﹣1； 故选：A． 3．已知定义域为R的函数f（x）在[1，+∞）单调递增，且f（x+1）为偶函数，若f（3）＝1，则不等式f（2x+1）＜1的解集为（　　） A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 【解答】解：根据题意，函数f（x+1）为偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称， 又由函数f（x）在[1，+∞）单调递增且f（3）＝1， 则f（2x+1）＜1?f（2x+1）＜f（3）?|2x|＜2， 解可得：﹣1＜x＜1，即不等式的解集为（﹣1，1）； 故选：A． 题型二.中心对称 1．已知函数f（2x+1）是奇函数．则函数y＝f（2x）的图象成中心对称的点为（　　） A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（，0） D．（，0） 【解答】解：∵函数f（2x+1）是奇函数， ∴f（﹣2x+1）＝﹣f（2x+1） 令t＝1﹣2x，代入可得f（t）+f（2﹣t）＝0， ∴函数f（x）关于（1，0）对称， 则函数y＝f（2x）的图象成中心对称的点为（，0）． 故选：C． 2．已知函数f（x﹣1）（x∈R）是偶函数，且函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称，当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝x﹣1，则f（2019）＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2 【解答】解：根据题意，函数f（x﹣1）（x∈R）是偶函数，则函数f（x）的对称轴为x＝﹣1， 则有f（x）＝f（﹣2﹣x）， 又由函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称，则f（x）＝﹣f（2﹣x）， 则有f（﹣2﹣x）＝﹣f（2﹣x），即f（x+4）＝﹣f（x）， 变形可得f（x+8）＝f（x），则函数是周期为8的周期函数， f（2019）＝f（3+252×8）＝f（3）＝﹣f（﹣1）＝﹣（﹣1﹣1）＝2； 故选：D． 3．（2016·全国2）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），若函数y与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则（xi+yi）＝（　　） A．0 B．m C．2m D．4m 【解答】解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x）， 即为f（x）+f（﹣x）＝2， 可得f（x）关于点（0，1）对称， 函数y，即y＝1的图象关于点（0，1）对称， 即有（x1，y1）为交点，即有（﹣x1，2﹣y1）也为交点， （x2，y2）为交点，即有（﹣x2，2﹣y2）也为交点， … 则有（xi+yi）＝（x1+y1）+（x2+y2）+…+（xm+ym） [（x1+y1）+（﹣x1+2﹣y1）+（x2+y2）+（﹣x2+2﹣y2）+…+（xm+ym ... ...