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课件网) 3.3 幂函数 第三章 学习目标 1.通过具体实例，结合函数 的图象，理解幂函数图象的变化规律. 2.了解幂函数的概念. 核心素养：数学抽象、数学建模、直观想象 幂函数的概念 【探究】(1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付 的钱数P=t元，这里P是t的函数； (2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数； (3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数； (4)如果正方形广场的面积为S，那么广场的边长c= ，这里c是S的函数； (5)如果某人t秒内汽车前进了1km，那么他的平均速度v= km/s，这里 v是t的函数； 【以下各个函数有什么共同的特征？】 可以发现，这些函数的表达式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量， 幂的指数都是常数.分别是1，2，3，0.5，-1；它们都是形如 的函数. ? 一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数. ? ? ? ? ? 【1】在函数① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 中，是幂函数的是（ ） . 【解】根据幂函数的定义，只有①⑤⑥是幂函数. 选项②系数不为1；选项③系数不为1且多了常数项 选项④同理. ? ? ? ? ? ? ①⑤⑥ 即时巩固 幂函数的特征 【1】 的系数为1 ? 【2】 的底数为自变量 ? 【3】 的指数为常数 ? 只有同时满足这三个条件的，才是幂函数.形如 等的函数不是幂函数. ? ? ? 判断一个函数是不是幂函数的依据是该函数是否为 ( 为常数)的形式.反过来，若一个函数为幂函数，那么它也一定具有这个形式.在我们解决某些问题的时候这个结论有奇效. ? ? 【1】已知幂函数 的图像经过点 ，求这个函数的表达式. ? ? 【解】由题意设函数的表达式为 ? 把点 代入，得： ? ? 即 ，所以 ? ? 所以这个函数的表达式为 ? 和初中解决一次函数一样，利用待定系数法.因为幂函数只有一个系数，所以只需要一个点的坐标就可以求写出幂函数的表达式. 即时巩固 幂函数的图像 【说明】对于幂函数，我们只研究 时图像的性质. ? 在同一坐标系中画出函数 ? 的图像： ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【总结】①只有 时图像才是直线； ? ②图像一定会出现在第一象限， 一定不会出现在第四象限； ③图像一定经过 (1,1) 这个定点； ④第一象限内 由上到下递减. ? 幂函数的图像 【说明】对于幂函数，我们只研究 时图像的性质. ? 在同一坐标系中画出函数 ? 的图像： ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【总结】⑤ 时，图像在定义域内上升； ⑥ 时，图像在第一象限下降； ⑦只有 时，图像才与坐标轴 相交，且交点一定为原点； ⑧ 时，图像是y=1这条直线. ? ? ? ? 幂函数的性质 ? ? ? ? ? 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 非奇非偶函数 增函数 增函数 增函数 ? ? ? ? ? ? ? ? 【1】求幂函数 的定义域并讨论其奇偶性和单调性. 【解】因为 ， ，又 为 两个连续的正整数相乘，其结果必为正偶数，所以 为正奇数，所以函数的定义域为R. ? ? ? ? ? 由 为正奇数，得 ? ? ，所以 为增函数. ? 因为 ，所以 是正的奇次方根，所以 在定义域内为增函数. ? ? ? 即时巩固 幂函数的性质 和 两种情况下幂函数的图像变化及性质表： ? ? 在(0，+∞)上都有定义，定义域与a的取值有关 图像过点(0，0)和点(1，1) 图像过点(1，1) 在(0，+∞)上是增函数 在(0，+∞)上是减函数 在第一象限，当0＜a＜1时， 图像上凸；当a＞1时，图像下凹 在第一象限，图像都下凹 与a的取值有关 【2】利用幂函数的性质，比较下列两个数的大小. 【解】设 ，则 在R上为增函数. 比较大小用作差法.由增减性，根据自变量的大小，比较函数值的大小；或者根据函数值的大小，比较自变量的大小. ? ? ∵ -1.5＜-1.4，∴ (-1.5)3＜(-1.4)3 (-1.5)3 和 (-1.4)3 即时巩固 幂函数 奇偶性的判断方法 ? ? ? ? ... ...
