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课件网) 2.5.1 直线与圆的位置关系 海上日出是非常壮丽的美景.在海天交于一线的天际,一轮红日慢慢升起,先是探出半个圆圆的小脑袋,然后冉冉上升,和天际线相连,再跃出海面,越来越高,展现着斑斓的霞光和迷人的风采. 这个过程中,太阳看作一个圆,海天交线看作一条直线,日出的过程中也体现了直线与圆的三种位置关系:相交、相切和相离. 直线与圆的位置关系的判断方法 直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断 名师点析几何法更为简洁和常用. 微练习 直线3x+4y=5与圆x2+y2=16的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交 答案:A 判断直线与圆的位置关系 例1已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,直线与圆 (1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点? 思路分析:可联立方程组,由方程组解的个数判断,也可求出圆心到直线的距离,通过与半径比较大小判断. 解:(方法1)将直线mx-y-m-1=0代入圆的方程,化简、整理,得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0. 反思感悟直线与圆的位置关系的判断方法 直线与圆的位置关系反映在三个方面:一是点到直线的距离与半径大小的关系;二是直线与圆的公共点的个数;三是两方程组成的方程组解的个数.因此,若给出图形,可根据公共点的个数判断;若给出直线与圆的方程,可选择用几何法或代数法,几何法计算量小,代数法可一同求出交点.解题时可根据条件作出恰当的选择. 直线与圆相切 例2过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线的方程. 思路分析:利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率,进而求出切线方程. 解:因为(4-3)2+(-3-1)2=17>1,所以点A在圆外. (1)若所求切线的斜率存在,设切线斜率为k, 则切线方程为y+3=k(x-4). 因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径,半径为1, (2)若直线斜率不存在, 圆心C(3,1)到直线x=4的距离也为1, 这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是x=4. 综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4. 反思感悟切线方程的求法 1.求过圆上一点P(x0,y0)的圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率k,则由垂直关系,切线斜率为- ,由点斜式方程可求得切线方程.若k=0或斜率不存在,则由图形可直接得切线方程为y=b或x=a. 2.求过圆外一点P(x0,y0)的圆的切线时,常用几何方法求解 设切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,进而切线方程即可求出.但要注意,此时的切线有两条,若求出的k值只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在,可通过数形结合求出. 延伸探究过点Q(3,0)作圆x2+y2=4的切线,求此切线方程. 直线与圆相交 例3求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长. 思路分析:解法一求出直线与圆的交点坐标,解法二利用弦长公式,解法三利用几何法作出直角三角形,三种解法都可求得弦长. 反思感悟求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1)几何法:如图①,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半 延伸探究已知直线l经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点,且与直线x+y-2=0垂直. (1)求直线l的方程; (2)若圆C的圆心为点(3,0),直线l被该圆所截得的弦长为2 ,求圆C的标准方程. ∴两直线交点为(2,1). 设直线l的斜率为k1,∵l与x+y-2=0垂直, ∴k1=1, ∵l过点(2,1),∴l的方程为y-1=x-2,即x-y-1=0; 一题多解———直线与圆相切和光的反射 典例自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线l所在直线的方程. 分析l过点A,欲求其方程需求斜率k或与x轴的交点B. (方法2)已知圆C:x2+y2-4x-4y+7=0关于x轴对称的圆为 C1:(x-2)2+(y+2)2=1,其圆心C1的坐标为(2,-2),半径为1,由光的反射定律知,入射光线所在直线方程与圆 ... ...
