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课件网) 3.2.1 双曲线及其标准方程 如图①所示,取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点F1、F2上,把笔尖放在点M处,随着拉链逐渐拉开或者闭拢,笔尖所经过的点就画出一条曲线,这就是双曲线的一支.把两个固定点的位置交换,如图②所示,类似可以画出双曲线的另一支.这两条曲线合起来叫做双曲线. 双曲线上的点到两定点F1,F2的距离有何特点? 一、双曲线的定义 1.定义:一般地,我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2.集合语言表达式 双曲线就是集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|}. 名师点析1.若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点M的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于|MF1|与|MF2|的大小. (1)若|MF1|>|MF2|,则|MF1|-|MF2|>0,点M的轨迹是靠近定点F2的那一支; (2)若|MF1|<|MF2|,则|MF2|-|MF1|>0,点M的轨迹是靠近定点F1的那一支. 2.双曲线定义中的常数必须要大于0且小于|F1F2|. (1)若定义中的常数等于|F1F2|,此时动点轨迹是分别以F1和F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点). (2)若定义中的常数大于|F1F2|,此时动点轨迹不存在. (3)若定义中的常数为0,此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 微练习1 已知平面上定点F1,F2及动点M,命题甲:||MF1|-|MF2||=2a(a为常数),命题乙:点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,则甲是乙的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B 微练面内到点F1(6,0)的距离减去到点F2(-6,0)的距离之差等于12的点的集合是( ) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线 解析:设动点为P,则|PF1|-|PF2|=12=|F1F2|,点P的轨迹为以F2为端点的一条射线. 答案:D 二、双曲线的标准方程 名师点析1.双曲线的标准方程是指当双曲线在标准位置时的方程,所谓标准位置,就是指双曲线的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴. 3.双曲线的焦点在x轴上?标准方程中x2项的系数为正;双曲线的焦点在y轴上?标准方程中y2项的系数为正,即“焦点跟着正的跑”.这是判断双曲线焦点所在坐标轴的重要方法. (2)已知a=5,c=10,焦点在y轴上,则双曲线的标准方程为 .? 双曲线定义的应用 (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离. (2)若点P是双曲线上的一点,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积. 思路分析:(1)直接利用定义求解. (2)在△F1PF2中利用余弦定理求|PF1|·|PF2|. 解:(1)设|MF1|=16,根据双曲线的定义知||MF2|-16|=6,即|MF2|-16=±6. 解得|MF2|=10或|MF2|=22. 反思感悟求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法 (1)①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a;②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式;③通过配方,利用整体的 解:在双曲线的方程中,a=3,b=4,则c=5. 设|PF1|=m,|PF2|=n(m>0,n>0). 由双曲线的定义可知,|m-n|=2a=6, 两边平方,得m2+n2-2mn=36. 又∵∠F1PF2=90°, ∴由勾股定理,得m2+n2=|F1F2|2=(2c)2=100. 求双曲线的标准方程 例2根据下列条件,求双曲线的标准方程: 思路分析:(1)结合a的值设出标准方程的两种形式,将点A的坐标代入求解. (2)因为焦点相同,所以所求双曲线的焦点也在x轴上,且c2=16+4=20,利用待定系数法求解,或设出统一方程求解. (3)双曲线焦点的位置不确定,可设出一般方程求解. 反思感悟1.求双曲线标准方程的步骤 (1)确定双曲线的类型,并设出标准方程; (2)求出a2,b2的值. 2.当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时,需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,特别地,当已知双曲线经过两个点时,可设双曲线方程为Ax2+By2=1(AB<0)来 ... ...
