【课标要求】 1．理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认 识并能运用． 等差数列(一) 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这样的数列称为_____数列，这个常数叫作等差数列的_____，公差通常用字母d表示． 答案 等差 公差 自学导引 1． 若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的_____，并且A＝_____． 若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝_____． 答案 a1＋(n－1)d 2． 3． 自主探究 1． 如何理解等差数列的自然语言与符号语言的关系？ 可见，等差数列的意义用符号语言表示，即a1＝a，an＝an－1＋d(n≥2)，其本质是等差数列的递推公式． 2． 等差数列a－2d，a，a＋2d，…的通项公式是 ( )． A．an＝a＋(n－1)d B．an＝a＋(n－3)d C．an＝a＋2(n－2)d D．an＝a＋2nd 解析 an＝(a－2d)＋(n－1)·2d＝a＋2(n－2)d. 答案 C △ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于 ( )． A．30° B．60° C．90° D．120° 答案 B 预习测评 2． 1． 等差数列1，3，5，7…的通项公式是_____． 解析 因为a1＝1，公差d＝3－1＝2， 所以其通项公式为an＝1＋(n－1)×2， 即an＝2n－1. 答案 an＝2n－1 3与15的等差中项是_____． 答案 9 3． 4． 等差数列的定义 (1)一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示． 名师点睛 1． 特别提示 (1)注意定义中“同一常数”这一要求， 这一要求可理解为：每一项与前一项的差是常数且是同一常数，否则这个数列不能称为等差数列． (2)注意定义中“从第2项起”这一要求，这一要求可理解为：首先是因为首项没有“前一项”，其次是如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起，每一项与前一项的差是同一个常数(即an＋1－an＝d，n∈N*，且n≥2)，那么这个数列不是等差数列，但可以说这个数列从第2项起(即去掉第1项后)是一个等差数列． 等差数列的通项公式 公式an＝a1＋(n－1)d也可以用以下方法(累差法)导出： 将以上n－1个等式两边分别相加，可得an－a1＝(n－1)d，移项得通项公式an＝a1＋(n－1)d.“累差法”是推导给出形如an＋1－an＝f(n)(n∈N*)递推公式的数列的通项公式的一种重要方法． 2． 由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以写出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量． 等差中项及等差数列的判定 判断一个数列为等差数列的常见方法有： 3． 特别提示 (1)在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项，即2an＝an－1＋an＋1(n≥2)． (3)等差中项经常作为数列题目中的题设或结论出现，所以要引起重视． 方法点评 关于a1，an，n，d之间的运算称为基本量的运算，这是等差数列中最简单、最重要、必须熟练掌握的问题． 题型一 等差数列的通项公式 【例1】 典例剖析 已知数列－5，－3，－1，1，…是等差数列，判断52，2n＋7(n∈N*)是否为该数列的某项？若是，是第几项？ 1． 已知a，b，c成等差数列，那么a2(b＋c)，b2(c＋a)， c2(a＋b)是否成等差数列？ 解 ∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b， a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a) ＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2b) ＝a2c＋c2a－2abc＝ac(a＋c－2b)＝0， ∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(c＋a)， ∴a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差数列． 题型二 等差数列的判断 【例2】 方法点评 如果a，b，c成等差数列，常转化成a＋c＝2b的形式去运用；反之，如果求证a，b，c成等差数列，常改证a＋c＝2b.有时应用概 ... ...
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