第八讲：随机事件的概率 知识点一、频数、频率和概率 (1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例 为事件A出现的频率. (2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率. 知识点二、事件的关系与运算 名称 条件 结论 符号表示 包含关系 A发生?B发生 事件B包含事件A(事件A包含于事件B) B?A(或A?B) 相等关系 若B?A且A?B 事件A与事件B相等 A＝B 并(和) 事件 A发生或B发生 事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交(积) 事件 A发生且B发生 事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 互斥事件 A∩B为不可能事件 事件A与事件B互斥 A∩B＝? 对立事件 A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件 事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝?， P(A∪B)＝1 知识点三、概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率：P(E)＝1. (3)不可能事件的概率：P(F)＝0. (4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B). (5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B). 常用结论：探究概率加法公式的推广 (1)当一个事件包含多个结果时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An). (2)P()＝1－P(A1∪A2∪…∪An)＝1－P(A1)－P(A2)－…－P(An).注意涉及的各事件要彼此互斥. 例题 例1.1.从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件的是( ) A．恰好有1件次品和恰好有2件次品 B．至少有1件次品和全是次品 C．至少有1件正品和至少有1件次品 D．至少有1件次品和全是正品 例1.2.从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中： ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数； ③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数. 上述事件中，是对立事件的是( ) A.① B.②④ C.③ D.①③ 例1.3.在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是( ) A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡 C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡 例1.4.一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是( ) A．恰有一次击中 B．三次都没击中 C．三次都击中 D．至多击中一次 例2.1.袋中装有3个白球和4个黑球，从中任取3个球，给出下列四组事件：①“恰有1个白球”和“全是白球”；②“至少有1个白球”和“全是黑球”；③“至少有1个白球”和“至少有2个白球”；④“至少有1个白球”和“至少有1个黑球”．在上述每组事件中，互为对立事件的是( ) A．① B．② C．②③ D．①④ 例2.2.某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表： 本科 研究生 合计 35岁以下 40 30 70 35～50岁 27 13 40 50岁以上 8 2 10 现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是( ) A．该教职工具有本科学历的概率低于60% B．该教职工具有研究生学历的概率超过50% C．该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10% D．该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10% 例2.3.某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该保险的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10 (1)记A为事件 ... ...
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