中小学教育资源及组卷应用平台 专题16 对数 一、考情分析 二、基础知识 【知识点一、对数】 1．对数的概念 （1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作_____，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． （2）常用对数：通常我们将以_____为底的对数叫做常用对数，并把记为lg N． （3）自然对数：在科学技术中常使用以无理数e=2．718 28……为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把记为ln N． 2．对数与指数的关系 当a>0，且a≠1时，．即 3．对数的性质 根据对数的概念，知对数具有以下性质： （1）负数和零没有对数，即； （2）1的对数等于0，即； （3）底数的对数等于1，即． 【知识点二、对数的运算】 1．基本性质 若，则 （1）_____； （2）_____． 2．对数的运算性质 如果，那么： （1）； （2）； （3）． 【知识点三、换底公式及公式的推广】 1．对数的换底公式 ． 【注】速记口诀： 换底公式真神奇，换成新底可任意， 原底加底变分母，真数加底变分子． 2．公式的推广 （1）（其中a>0且；b>0且）； （2）（其中a>0且；b>0）； （3）（其中a>0且；b>0）； （4）（其中a>0且；b>0）； （5）（其中a，b，c均大于0且不等于1，d>0）． 三、题型分析 1．对数的概念 解决使对数式有意义的参数问题，只要注意满足底数和真数的条件，然后解不等式（组）即可．对数的概念是对数式和指数式互化的依据，在互化过程中应注意对数式和指数式之间的对应关系． 例1．(1)（2021·全国高一课时练习）已知，则_____. (2)（2021·上海高一课时练习）求值：_____． (3)（2021·上海高一课时练习）对数的运算性质：如果，那么_____； _____；_____. 【变式训练1-1】、（2021·上海）指数式和对数式互相转化： （1）_____．（2）_____． （3）_____．（4）_____． 【变式训练1-2】、（2021·浙江高二期末）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】、（2021·江西高三其他模拟（文））若，则（ ） A． B． C． D． 2．对数运算性质的应用 对数的运算性质是进行对数运算和化简的基础，所以要熟记对数的运算性质以及对数恒等式，化简的原则是： （1）尽量将真数化为 “底数”一致的形式； （2）将同底的多个对数的和（差）合成积（商）的对数； （3）将积（商）的对数分成若干个对数的和（差）．运算时要灵活运用对数的相关公式求解，如 ，等． 例2．（1）（2021·河南高二期末（文））已知，，则（ ） A． B． C． D． （2）．（2021·上海高一课时练习）下列计算中结果正确的是（ ） A． B． C． D． （3）．（2021·上海高一课时练习）计算：（1）_____． （2）_____． （3）_____． （4）_____． （5）_____． 例3．（2020·江苏）化简计算 (1); (2). 【变式训练3-1】．（2020·全国高一单元测试）计算下列各式的值． （1）； （2）． 3．换底公式的应用 换底公式即将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明．换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数． 例4．（2021·天津高考真题）若，则（ ） A． B． C．1 D． 【变式训练4-1】、（2021·全国高一课时练习）的值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】、（2021·黎川县第一中学高二期末（文））已知，，则_____． 4．对数方程的求解 解对数方程时，（1）等号两边为底数相同的对数式，则真数相等；（2）化简后得到关于简单对数式的一元二次方程，再由对数式与指数式的互化求解． 例5．（2021·全国高一课时练习）方程的解集是（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-1】、（2021·上海市杨浦高级中学高二期末）方程的解为_____． 【变式训练5-2】、（2021·全国高一课时练习 ... ...
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